Задача №14198

Найдите трёхзначное число $A\text{,}$ обладающее всеми следующими свойствами:
1. Сумма цифр числа $A$ делится на 4.
2. Сумма цифр числа $A+2$ делится на 4.
3. Число $A$ больше 200 и меньше 400.

В ответе укажите какое-нибудь одно такое число.

Пусть искомое число имеет вид $A=\overline{abc}\text{.}$ По условию $200<A<400\text{,}$ следовательно, первая цифра $a$ может быть равна 2 или 3.

1. Рассмотрим изменение суммы цифр при прибавлении числа 2. Если при сложении $A+2$ не происходит перехода через разряд (т. е. последняя цифра $c⩽7$), то сумма цифр увеличивается на 2:
$S(A+2)=S(A)+2\text{.}$
В этом случае $S(A)$ и $S(A+2)$ не могут одновременно делиться на 4, так как их разность равна 2.

2. Следовательно, при сложении должен произойти перенос разряда. Это возможно, если последняя цифра $c$ равна 8 или 9.

3. Если $c=8$ или $c=9\text{,}$ но вторая цифра $b<9\text{,}$ то при сложении $A+2$ произойдёт перенос только в разряд десятков. Тогда сумма цифр уменьшится на $9-2=7\text{.}$ Число 7 не делится на 4, поэтому этот случай не подходит.

4. Если же произойдёт перенос в разряд сотен (т. е. вторая цифра $b=9$), то сумма цифр уменьшится на $18-2=16\text{.}$ Поскольку 16 делится на 4, этот случай нам подходит. Это происходит, когда $b=9$ и $c\in \{8;9\}\text{.}$

5. Проверим варианты для $a\in \{2;3\}\text{:}$

• Если $A=\overline{a98}\text{,}$ то $S(A)=a+9+8=a+17\text{.}$ Чтобы $S(A)$ делилось на 4, $a$ должно быть равно 3 (тогда $S(398)=20$). Проверим $A+2\text{:}$ $398+2=400\text{,}$ $S(400)=4$ (делится на 4). Число 398 подходит.
• Если $A=\overline{a99}\text{,}$ то $S(A)=a+9+9=a+18\text{.}$ Чтобы $S(A)$ делилось на 4, $a$ должно быть равно 2 (тогда $S(299)=20$). Проверим $A+2\text{:}$ $299+2=301\text{,}$ $S(301)=4$ (делится на 4). Число 299 подходит.

Ответ: 299