Задача №14186

Из книги выпало несколько идущих подряд листов. Номер последней страницы перед выпавшими листами — $254\text{,}$ номер первой страницы после выпавших листов записывается теми же цифрами, но в другом порядке. Сколько листов выпало?

Пусть выпало $k$ листов. Поскольку каждый лист содержит две страницы, выпало $2k$ страниц.

Последняя страница перед выпавшими листами — $254\text{,}$ поэтому первая страница после выпавших листов имеет номер $255+2k\text{.}$

По условию, это число должно быть перестановкой цифр числа $254$ и, так как номер страницы, нечётным.

Найдём все перестановки цифр $2\text{,}$ $5\text{,}$ $4\text{:}$ $245\text{,}$ $254\text{,}$ $425\text{,}$ $452\text{,}$ $524\text{,}$ $542\text{.}$

Среди них выберем числа, которые больше $254$ и нечётные. Нечётные числа из списка: $245$ и $425\text{.}$ Но $245$ меньше $254\text{,}$ поэтому подходит только $425\text{.}$

Таким образом, имеем уравнение:

Решим его:

Проверка: выпало $85$ листов, что соответствует $2\times 85=170$ страницам. Первая страница после выпавших — $255+170=425\text{,}$ что является перестановкой цифр $254\text{.}$

Ответ: $85$ листов.