Задача №13993

Найдите трёхзначное натуральное число $A\text{,}$ обладающее двумя свойствами:

• сумма цифр числа $A$ делится на 12;
• сумма цифр числа $A+6$ делится на 12.

В ответе запишите какое-нибудь одно такое число.

Чтобы суммы цифр $A$ и $A+6$ делились на 12, прибавление 6 должно изменять сумму цифр на число, кратное 12.

Это происходит, если при сложении возникают два переноса: единицы $\ge 4\text{,}$ десятки $=9\text{.}$

Тогда

$$S(A+6)=S(A)-12.$$

Пусть $A=\overline{a9c}\text{,}$ где $a$ — сотни, $c\ge 4\text{.}$

Сумма цифр числа $A\text{:}$

$$S(A)=a+9+c.$$

Она должна быть кратна 12.

Максимальная сумма цифр трёхзначного числа $27\text{,}$ поэтому $S(A)=24\text{,}$ откуда

$$a+c=15.$$

При $a=6\text{,}$ $c=9$ получаем $A=699\text{.}$

Проверка:

$$6+9+9=24\text{делится на 12},$$ $$699+6=705,7+0+5=12\text{делится на 12}.$$

Ответ: $699\text{.}$