Задача №14159

Улитка за день заползает вверх по дереву на 2 м, а за ночь сползает на 1 м. Высота дерева 9 м. За сколько дней улитка доползёт до вершины дерева, начав путь от его основания?

За день улитка поднимается на 2 м, за ночь сползает на 1 м, чистое перемещение за сутки: $2-1=1$ м.

Но в последний день, достигнув вершины, она не сползает.

Пусть до последнего дня улитка поднималась $n$ дней, и к утру $n$-го дня она на высоте $n$ м (после спуска ночью). В $n$-й день она проползает 2 м и достигает вершины 9 м. Уравнение: $n+2=9\text{,}$ откуда $n=7\text{.}$ Значит, всего дней: $n=7$ (последний день — 7-й).

Проверим:

1. 1-й день: поднялась до 2 м, ночью спустилась до 1 м.
2. 2-й день: до 3 м, ночью до 2 м.
...
6. 6-й день: до 7 м, ночью до 6 м.
7. 7-й день: с 6 м поднялась на 2 м до 8 м? Нет, по уравнению: на 7-й день с высоты 7 м (после ночи 6-го дня) поднимается на 2 м до 8 м, но нужно до 9 м.

Ошибка: нужно учесть, что в последний день она может подняться меньше 2 м, если вершина достигнута раньше.

Переформулируем: пусть $x$ дней, включая последний, когда она не сползает. За $x-1$ полных суток она поднимается на $1\cdot (x-1)$ м. Утром $x$-го дня она на высоте $x-1$ м. В $x$-й день она должна проползти до 9 м: $(x-1)+2⩾9\text{,}$ так как за день она может проползти 2 м, но если вершина достигнута, останавливается. $x-1⩾7\text{,}$ $x⩾8\text{.}$

Проверим $x=8\text{:}$ за 7 суток поднялась на 7 м, утром 8-го дня на 7 м, за день ползёт 2 м и достигает 9 м (ровно).

Ответ: 8 дней.