Задача №14149

Вычеркните в числе $58918749$ три цифры так, чтобы получившееся число делилось на $18\text{.}$ В ответе укажите какое-нибудь одно получившееся число.

Число делится на $18$ тогда и только тогда, когда оно делится на $2$ и на $9$ одновременно.

1. Признак делимости на $2\text{:}$ число должно быть чётным, то есть заканчиваться на чётную цифру $\{0;2;4;6;8\}\text{.}$ В исходном числе $58918749$ чётные цифры — это $8$ (на второй и пятой позициях) и $4$ (на седьмой позиции). Чтобы полученное число было чётным, оно должно заканчиваться на одну из этих цифр. Следовательно, последняя цифра исходного числа ($9$) обязательно должна быть вычеркнута.

2. Признак делимости на $9\text{:}$ сумма цифр числа должна делиться на $9\text{.}$ Найдём сумму цифр исходного числа:

Нам нужно вычеркнуть $3$ цифры так, чтобы сумма оставшихся $5$ цифр была кратна $9$ (ближайшие подходящие числа — $45\text{,}$ $36\text{,}$ $27$).

Пусть сумма трёх вычеркнутых цифр равна $S\text{.}$ Тогда сумма оставшихся цифр равна $51-S\text{.}$

• Если сумма оставшихся цифр равна $36\text{,}$ то $S=51-36=15\text{.}$ Так как одна из вычеркнутых цифр — это $9$ (последняя), сумма двух других должна быть равна $15-9=6\text{.}$ В исходном числе есть цифры $5$ и $1\text{,}$ которые в сумме дают $6\text{.}$ Вычеркнув цифры $5$ (1-я позиция), $1$ (4-я позиция) и $9$ (8-я позиция), получим число $89874\text{.}$ Проверим его: оно чётное, сумма цифр $8+9+8+7+4=36$ (делится на $9$). Число подходит.

• Если сумма оставшихся цифр равна $27\text{,}$ то $S=51-27=24\text{.}$ С учётом вычеркнутой последней девятки, сумма двух других вычеркнутых цифр должна быть $24-9=15\text{.}$ Такую сумму дают цифры $8$ и $7\text{.}$

  • Если вычеркнуть $8$ (2-я позиция), $7$ (6-я позиция) и $9$ (8-я позиция), останется число $59184\text{.}$ Сумма цифр: $5+9+1+8+4=27\text{.}$ Число подходит.
  • Если вычеркнуть $8$ (5-я позиция), $7$ (6-я позиция) и $9$ (8-я позиция), останется число $58914\text{.}$ Сумма цифр: $5+8+9+1+4=27\text{.}$ Число подходит.

В ответе можно указать любое из полученных чисел.

Ответ: 58914 (или 59184, или 89874)