Задача №14092

Найдите четырёхзначное число, которое в 15 раз меньше куба некоторого натурального числа. В ответе укажите какое-нибудь одно такое число.

Пусть искомое четырёхзначное число равно $x\text{,}$ а некоторое натуральное число равно $n\text{.}$ По условию задачи:

Отсюда следует, что $n^3=15x\text{.}$ Так как $x$ — целое число, то куб числа $n$ должен делиться на 15. Число 15 раскладывается на простые множители как $3\cdot 5\text{.}$ Следовательно, для того чтобы $n^3$ делилось на 3 и на 5, само число $n$ также должно делиться на 3 и на 5 (так как это простые числа). Значит, $n$ делится на 15.

Пусть $n=15k\text{,}$ где $k$ — натуральное число. Подставим это выражение в формулу для $x\text{:}$

По условию число $x$ должно быть четырёхзначным, то есть $1000⩽x⩽9999\text{.}$ Подставим выражение для $x$ в неравенство:

Разделим все части неравенства на 225:

Найдём возможные значения $k\text{,}$ кубы которых попадают в этот промежуток:

1. При $k=1\text{:}$ $k^3=1$ (не подходит).
2. При $k=2\text{:}$ $k^3=8$ (подходит). Тогда $x=225\cdot 8=1800\text{.}$
3. При $k=3\text{:}$ $k^3=27$ (подходит). Тогда $x=225\cdot 27=6075\text{.}$
4. При $k=4\text{:}$ $k^3=64$ (не подходит).

В ответе необходимо указать любое одно такое число. Выберем 1800.

Ответ: 1800