Задача №14137

Найдите четырёхзначное число, большее $6000\text{,}$ но меньшее $8000\text{,}$ которое делится на $18$ и каждая следующая цифра которого меньше предыдущей. В ответе укажите какое-нибудь одно такое число.

Пусть искомое четырёхзначное число имеет вид $\overline{abcd}\text{.}$ По условию задачи:

1. Число находится в диапазоне от $6000$ до $8000\text{,}$ значит, первая цифра $a$ может быть равна $6$ или $7\text{.}$
2. Число делится на $18\text{,}$ а значит, оно должно одновременно делиться на $2$ и на $9\text{:}$

• Делимость на $2$ означает, что последняя цифра $d$ чётная: $d\in \{0;2;4;6;8\}\text{.}$
• Делимость на $9$ означает, что сумма цифр $a+b+c+d$ кратна $9\text{.}$
  3. Каждая следующая цифра меньше предыдущей: $a>b>c>d\text{.}$

Рассмотрим случай, когда первая цифра $a=6\text{:}$

Тогда $6>b>c>d\text{.}$ Так как цифры убывают, $d$ может быть равна $0\text{,}$ $2$ или $4\text{.}$

Пусть $d=0\text{.}$ Сумма цифр $6+b+c+0$ должна быть кратна $9\text{.}$ Ближайшее такое число — $9\text{.}$ Тогда:

С учётом условия убывания $6>b>c>0\text{,}$ возможна только одна пара цифр: $b=2$ и $c=1\text{.}$ Получаем число $6210\text{.}$

Проверим число $6210\text{:}$

• Больше $6000$ и меньше $8000\text{:}$ верно.
• Делится на $2$ (оканчивается на $0$): верно.
• Делится на $9$ (сумма цифр $6+2+1+0=9$): верно.
• Каждая следующая цифра меньше предыдущей ($6>2>1>0$): верно.

Также можно найти другие подходящие числа, например, при $a=7\text{:}$

• Если $d=0\text{,}$ сумма $7+b+c+0=18\text{,}$ тогда $b+c=11\text{.}$ Подходит $b=6,c=5\text{.}$ Число $7650\text{.}$
• Если $d=2\text{,}$ сумма $7+b+c+2=18\text{,}$ тогда $b+c=9\text{.}$ Подходят $b=6,c=3$ (число $7632$) и $b=5,c=4$ (число $7542$).

Для ответа достаточно указать одно число.

Ответ: 6210