Задача №14099

Найдите четырёхзначное число, большее 5500, но меньшее 6000, которое делится на 36 и сумма цифр которого равна 27. В ответе укажите какое-нибудь одно такое число.

Пусть искомое четырёхзначное число имеет вид $\overline{5abc}\text{,}$ так как оно находится в диапазоне от 5500 до 6000.

1. Согласно условию, сумма цифр числа равна 27:

Так как число больше 5500, цифра сотен $a$ может принимать значения 5, 6, 7, 8 или 9.

2. Число должно делиться на 36. Число делится на 36 тогда и только тогда, когда оно делится на 9 и на 4 одновременно.

• Признак делимости на 9: сумма цифр должна делиться на 9. Сумма цифр равна 27, что делится на 9. Это условие выполняется для любого такого числа.
• Признак делимости на 4: число, образованное последними двумя цифрами ($\overline{bc}$), должно делиться на 4.

3. Проверим возможные значения для $a\text{:}$

• Если $a=5\text{,}$ то $b+c=22-5=17\text{.}$ Возможные пары $(b;c)\text{:}$ $(8;9)$ и $(9;8)\text{.}$ Числа 89 и 98 на 4 не делятся.
• Если $a=6\text{,}$ то $b+c=22-6=16\text{.}$ Возможные пары $(b;c)\text{:}$ $(7;9),(8;8),(9;7)\text{.}$ Число 88 делится на 4. Получаем число 5688.
• Если $a=7\text{,}$ то $b+c=22-7=15\text{.}$ Возможные пары $(b;c)\text{:}$ $(6;9),(7;8),(8;7),(9;6)\text{.}$ Число 96 делится на 4. Получаем число 5796.
• Если $a=8\text{,}$ то $b+c=22-8=14\text{.}$ Возможные пары $(b;c)\text{:}$ $(5;9),(6;8),(7;7),(8;6),(9;5)\text{.}$ Число 68 делится на 4. Получаем число 5868.
• Если $a=9\text{,}$ то $b+c=22-9=13\text{.}$ Возможные пары $(b;c)\text{:}$ $(4;9),(5;8),(6;7),(7;6),(8;5),(9;4)\text{.}$ Число 76 делится на 4. Получаем число 5976.

4. Проверим число 5688:

• $5500<5688<6000$ (верно);
• $5+6+8+8=27$ (верно);
• $5688:36=158$ (верно).

В качестве ответа можно указать любое из найденных чисел: 5688, 5796, 5868 или 5976.

Ответ: 5688