Задача №14097

Найдите пятизначное натуральное число, кратное $15\text{,}$ любые две соседние цифры которого отличаются на $2\text{.}$ В ответе укажите какое-нибудь одно такое число.

Пусть искомое пятизначное число имеет вид $\overline{abcde}\text{.}$ Число кратно $15\text{,}$ если оно делится на $3$ и на $5$ одновременно.

1. Признак делимости на $5\text{:}$ последняя цифра $e$ должна быть равна $0$ или $5\text{.}$

2. Условие соседних цифр: любая пара соседних цифр должна отличаться на $2\text{.}$

3. Признак делимости на $3\text{:}$ сумма цифр $a+b+c+d+e$ должна делиться на $3\text{.}$

Рассмотрим случай, когда число оканчивается на $0$ ($e=0$):

• Если $e=0\text{,}$ то цифра $d$ может быть только $2$ (так как $\left|d-0\right|=2$).
• Тогда цифра $c$ может быть либо $0\text{,}$ либо $4$ (так как $\left|c-2\right|=2$). Попробуем $c=4\text{.}$
• Тогда цифра $b$ может быть либо $2\text{,}$ либо $6\text{.}$ Попробуем $b=2\text{.}$
• Тогда цифра $a$ может быть либо $0\text{,}$ либо $4\text{.}$ Поскольку число пятизначное, первая цифра не может быть нулём, значит, $a=4\text{.}$

Проверим полученное число $42420\text{:}$

• Число оканчивается на $0\text{,}$ значит, оно делится на $5\text{.}$
• Сумма цифр:

• Так как $12$ делится на $3\text{,}$ то и число $42420$ делится на $3\text{.}$
• Поскольку число делится и на $3\text{,}$ и на $5\text{,}$ оно кратно $15\text{.}$
• Проверим разность соседних цифр: $\left|4-2\right|=2\text{,}$ $\left|2-4\right|=2\text{,}$ $\left|4-2\right|=2\text{,}$ $\left|2-0\right|=2\text{.}$ Условие выполняется.

Существуют и другие подходящие числа, например, $53535\text{,}$ $13575$ или $57975\text{.}$

Ответ: 42420