Задача №14120

Найдите четырёхзначное число, большее $4500\text{,}$ но меньшее $5000\text{,}$ которое делится на $36$ и сумма цифр которого равна $27\text{.}$ В ответе укажите какое-нибудь одно такое число.

Поскольку число делится на $36\text{,}$ а $36=4\cdot 9\text{,}$ и числа $4$ и $9$ взаимно просты, то искомое число должно делиться одновременно на $4$ и на $9\text{.}$

1. Делимость на $9\text{:}$ сумма цифр числа должна делиться на $9\text{.}$ По условию сумма цифр равна $27\text{,}$ а $27$ делится на $9\text{,}$ поэтому условие делимости на $9$ выполняется автоматически для любого числа с суммой цифр $27\text{.}$

2. Делимость на $4\text{:}$ число, составленное из последних двух цифр, должно делиться на $4\text{.}$

3. Число четырёхзначное, больше $4500$ и меньше $5000\text{,}$ поэтому его первая цифра равна $4\text{,}$ а вторая цифра $b$ может быть $5\text{,}$ $6\text{,}$ $7\text{,}$ $8$ или $9\text{.}$ Обозначим число как $\overline{4bcd}\text{,}$ где $b,c,d$ — цифры.

4. Сумма цифр:

5. Переберём возможные значения $b\text{,}$ найдя $c$ и $d$ такие, что $c+d=23-b$ и двузначное число $\overline{cd}$ делится на $4\text{:}$

• Если $b=5\text{,}$ то $c+d=18\text{.}$ Единственная пара цифр с суммой $18\text{:}$ $c=9\text{,}$ $d=9\text{.}$ Число $\overline{cd}=99$ не делится на $4\text{.}$
• Если $b=6\text{,}$ то $c+d=17\text{.}$ Пары: $(8;9)$ и $(9;8)\text{.}$ Числа $89$ и $98$ не делятся на $4\text{.}$
• Если $b=7\text{,}$ то $c+d=16\text{.}$ Пары: $(7;9)\text{,}$ $(8;8)\text{,}$ $(9;7)\text{.}$ Число $\overline{cd}=88$ делится на $4\text{.}$ Получаем число $4788\text{.}$
• Если $b=8\text{,}$ то $c+d=15\text{.}$ Пары: $(6;9)\text{,}$ $(7;8)\text{,}$ $(8;7)\text{,}$ $(9;6)\text{.}$ Число $\overline{cd}=96$ делится на $4\text{.}$ Получаем число $4896\text{.}$
• Если $b=9\text{,}$ то $c+d=14\text{.}$ Пары: $(5;9)\text{,}$ $(6;8)\text{,}$ $(7;7)\text{,}$ $(8;6)\text{,}$ $(9;5)\text{.}$ Число $\overline{cd}=68$ делится на $4\text{.}$ Получаем число $4968\text{.}$

6. Таким образом, подходящие числа: $4788,4896,4968\text{.}$ Любое из них можно указать в ответе.

Ответ: $4788$