Задача №13999

Цифры четырёхзначного натурального числа, кратного $5\text{,}$ записали в обратном порядке и получили второе четырёхзначное число. Затем из исходного числа вычли второе и получили $3627\text{.}$ В ответе укажите какое-нибудь одно такое исходное число.

Пусть искомое четырёхзначное число равно $N=\overline{abcd}=1000a+100b+10c+d\text{.}$ По условию число $N$ кратно $5\text{,}$ значит, его последняя цифра $d$ равна $0$ или $5\text{.}$

Второе число получено записью цифр в обратном порядке: $M=\overline{dcba}=1000d+100c+10b+a\text{.}$ Так как по условию $M$ — четырёхзначное число, его первая цифра $d$ не может быть равна $0\text{.}$ Следовательно, $d=5\text{.}$

Запишем разность исходного и второго чисел:

Разделим обе части уравнения на $9\text{:}$

Подставим значение $d=5\text{:}$

Заметим, что произведение $10(b-c)$ всегда оканчивается на $0\text{.}$ Чтобы сумма $111(a-5)+10(b-c)$ оканчивалась на $3\text{,}$ произведение $111(a-5)$ должно оканчиваться на $3\text{.}$ Поскольку $a$ — цифра (от $1$ до $9$), разность $a-5$ находится в пределах от $-4$ до $4\text{.}$ Единственное подходящее значение в этом диапазоне — $a-5=3\text{.}$

Отсюда находим первую цифру:

Теперь подставим $a-5=3$ в уравнение:

Так как $b$ и $c$ — цифры, возможны следующие варианты:

1. $b=7,c=0$ (число $8705$).
2. $b=8,c=1$ (число $8815$).
3. $b=9,c=2$ (число $8925$).

Проверим число $8705\text{:}$ оно кратно $5\text{.}$ Число в обратном порядке — $5078\text{.}$ Разность:

Условие выполняется.

Ответ: 8705