Задача №14116

На кольцевой дороге расположено четыре бензоколонки: $A\text{,}$ $B\text{,}$ $C$ и $D\text{.}$ Расстояние между $A$ и $B$ — 50 км, между $A$ и $C$ — 40 км, между $C$ и $D$ — 25 км, между $D$ и $A$ — 35 км (все расстояния измеряются вдоль кольцевой дороги по кратчайшей дуге). Найдите расстояние (в километрах) между $B$ и $C\text{.}$

Пусть длина кольцевой дороги равна $L$ км. Расположим точки на окружности так, чтобы кратчайшие расстояния соответствовали условию.

Поскольку $AB=50$ км и $AC=40$ км, точка $C$ лежит на кратчайшей дуге между $A$ и $B\text{.}$ Тогда расстояние между ними:
$BC=AB-AC=50-40=10$ км.

Это расстояние также должно быть кратчайшим между $B$ и $C\text{,}$ что выполняется, если $10⩽\frac{L}{2}\text{,}$ то есть $L⩾20\text{,}$ что верно.

Теперь учтём точку $D\text{.}$ Расстояние $DA=35$ км. На дуге от $A$ до $B\text{,}$ не содержащей $C\text{,}$ длина равна $L-50\text{.}$ Пусть на этой дуге точка $D$ находится на расстоянии 35 км от $A\text{,}$ тогда от $D$ до $B$ остаётся $(L-50)-35=L-85$ км.

Рассмотрим расстояние $CD\text{.}$ Есть две дуги между $C$ и $D\text{:}$
1. Через $B\text{:}$ $CB+BD=10+(L-85)=L-75$ км.
2. Через $A\text{:}$ $AC+AD=40+35=75$ км.

По условию кратчайшее из них равно 25 км:

Если $L-75⩽75\text{,}$ то $L-75=25\text{,}$ откуда $L=100\text{.}$ Если $L-75>75\text{,}$ то минимум равен 75, но $75\ne 25\text{.}$ Значит, $L=100$ км.

При $L=100$ км проверяем все условия:
1. $AB=50$ км (кратчайшая, так как вторая дуга тоже 50 км).
2. $AC=40$ км.
3. $CD=25$ км (так как $L-75=25$ км).
4. $DA=35$ км.

Все условия выполнены, следовательно, расстояние $BC=10$ км.

Ответ: 10