Задача №14105

Найдите трёхзначное натуральное число, которое при делении и на $4\text{,}$ и на $9$ даёт в остатке $1$ и все цифры в записи которого нечётные. В ответе укажите какое-нибудь одно такое число.

Пусть $N$ — искомое трёхзначное число. По условию, при делении на $4$ и на $9$ остаток равен $1\text{:}$

Тогда число $N-1$ делится нацело на $4$ и на $9\text{.}$ Поскольку $4$ и $9$ взаимно просты, $N-1$ делится на их наименьшее общее кратное $\text{НОК}(4;9)=36\text{.}$ Следовательно,

для некоторого целого $k\text{.}$

Так как $N$ — трёхзначное число, то:

Вычтем $1\text{:}$

Разделим на $36\text{:}$

Приближённо $2,75⩽k⩽27,72\text{,}$ поэтому целое $k$ может принимать значения от $3$ до $27$ включительно.

Теперь для каждого $k$ от $3$ до $27$ вычислим $N=36k+1$ и проверим, что все цифры числа $N$ нечётные (то есть принадлежат множеству $\{1;3;5;7;9\}$).

1. $k=3\text{:}$ $N=109$ — цифра $0$ чётная.
2. $k=4\text{:}$ $N=145$ — цифра $4$ чётная.
3. $k=5\text{:}$ $N=181$ — цифра $8$ чётная.
4. $k=6\text{:}$ $N=217$ — цифра $2$ чётная.
5. $k=7\text{:}$ $N=253$ — цифра $2$ чётная.
6. $k=8\text{:}$ $N=289$ — цифры $2$ и $8$ чётные.
7. $k=9\text{:}$ $N=325$ — цифра $2$ чётная.
8. $k=10\text{:}$ $N=361$ — цифра $6$ чётная.
9. $k=11\text{:}$ $N=36\cdot 11+1=397$ — все цифры $3,9,7$ нечётные. Подходит.

Таким образом, одно из искомых чисел — $397\text{.}$ Можно также найти другие числа, например, при $k=16$ получается $N=577\text{,}$ которое тоже удовлетворяет условию.

Ответ: 397