Задача №14093

Цифры четырёхзначного числа, кратного $5\text{,}$ записали в обратном порядке и получили второе четырёхзначное число. Затем из исходного числа вычли второе и получили $3366\text{.}$ В ответе укажите какое-нибудь одно такое исходное число.

Пусть исходное четырёхзначное число имеет вид $\overline{abcd}=1000a+100b+10c+d\text{,}$ где $a,b,c,d$ — цифры, причём $a\ne 0\text{.}$

1. По условию число $\overline{abcd}$ кратно $5\text{,}$ значит, его последняя цифра $d$ равна $0$ или $5\text{.}$

2. Второе число, полученное записью цифр в обратном порядке, — $\overline{dcba}=1000d+100c+10b+a\text{.}$ Так как это число также четырёхзначное, его первая цифра $d$ не может быть равна $0\text{.}$ Следовательно, $d=5\text{.}$

3. Составим уравнение согласно условию задачи (разность исходного и обратного чисел равна $3366$):

Разделим обе части уравнения на $9\text{:}$

4. Проанализируем полученное уравнение. Число $10(b-c)$ оканчивается на $0\text{,}$ значит, последняя цифра числа $111a$ должна совпадать с последней цифрой числа $929\text{,}$ то есть быть равной $9\text{.}$ Это возможно только при $a=9\text{.}$

5. Подставим $a=9$ в уравнение:

6. Подберём подходящие значения цифр $b$ и $c\text{:}$

• Если $b=0\text{,}$ то $c=7\text{.}$ Число — $9075\text{.}$
• Если $b=1\text{,}$ то $c=8\text{.}$ Число — $9185\text{.}$
• Если $b=2\text{,}$ то $c=9\text{.}$ Число — $9295\text{.}$

Проверим число $9075\text{:}$ число кратно $5\text{,}$ обратное число $5709\text{,}$ разность $9075-5709=3366\text{.}$ Условие выполняется.

Ответ: 9075