Задача №14090

Найдите трёхзначное число $A\text{,}$ обладающее всеми следующими свойствами:

• сумма цифр числа $A$ делится на 5;
• сумма цифр числа $A+4$ делится на 5;
• число $A$ больше 350 и меньше 400.

В ответе укажите какое-нибудь одно такое число.

Искомое трёхзначное число $A$ находится в диапазоне $350<A<400\text{,}$ следовательно, оно начинается на цифру 3 и имеет вид $\overline{3xy}\text{.}$

1. Обозначим сумму цифр числа как $S(A)\text{.}$ Если при прибавлении 4 к числу $A$ не происходит перехода через разряд (то есть последняя цифра $y⩽5$), то сумма цифр увеличится ровно на 4: $S(A+4)=S(A)+4\text{.}$ В таком случае, если $S(A)$ делится на 5, то $S(A)+4$ не может делиться на 5.

2. Значит, при сложении $A+4$ должен произойти переход через разряд единиц. Это возможно только если последняя цифра $y\in \{6;7;8;9\}\text{.}$

3. Рассмотрим возможные случаи для последней цифры $y\text{:}$

• Если $y=6\text{,}$ то $S(A)=3+x+6=x+9\text{.}$ Чтобы сумма делилась на 5, $x$ может быть 1 или 6. Так как $A>350\text{,}$ выбираем $x=6\text{.}$ Тогда $A=366\text{.}$
  Проверим: $S(366)=15$ (делится на 5), $A+4=370\text{,}$ $S(370)=10$ (делится на 5).

• Если $y=7\text{,}$ то $S(A)=3+x+7=x+10\text{.}$ Чтобы сумма делилась на 5, $x$ может быть 0 или 5. Так как $A>350\text{,}$ выбираем $x=5\text{.}$ Тогда $A=357\text{.}$
  Проверим: $S(357)=15$ (делится на 5), $A+4=361\text{,}$ $S(361)=10$ (делится на 5).

• Если $y=8\text{,}$ то $S(A)=3+x+8=x+11\text{.}$ Чтобы сумма делилась на 5, $x=4$ (не подходит по диапазону) или $x=9\text{.}$ При $x=9$ число $A=398\text{,}$ тогда $A+4=402\text{.}$ $S(402)=6$ (не делится на 5).

• Если $y=9\text{,}$ то $S(A)=3+x+9=x+12\text{.}$ Чтобы сумма делилась на 5, $x=3$ (не подходит) или $x=8\text{.}$ Тогда $A=389\text{.}$
  Проверим: $S(389)=20$ (делится на 5), $A+4=393\text{,}$ $S(393)=15$ (делится на 5).

Таким образом, условию удовлетворяют числа 357, 366 и 389.

Ответ: 357