Задача №14088

Согласно рисунку, выражение имеет вид:

$$\square +\square \square +\square \square \square$$

Обозначим слагаемые следующим образом:

• Однозначное число: $A$
• Двузначное число: $\overline{BC}=10B+C$
• Трёхзначное число: $\overline{DEF}=100D+10E+F$

Тогда их сумма $S$ равна:

$$S=A+10B+C+100D+10E+F=100D+10(B+E)+(A+C+F)$$

Цифры $A,B,C,D,E,F$ представляют собой некоторый набор из карточек $\{2,5,7,8,9,9\}\text{.}$

1. Чтобы сумма $S$ делилась на 10, сумма единиц $A+C+F$ должна оканчиваться на 0.
Поскольку минимальная сумма трёх различных цифр из нашего набора равна $2+5+7=14>10\text{,}$ а максимальная равна $9+9+8=26<30\text{,}$ сумма $A+C+F$ может быть равна только 20.

Найдем возможные тройки цифр из набора $\{2,5,7,8,9,9\}\text{,}$ дающие в сумме 20:

• $\{2,9,9\}$ (так как $2+9+9=20$)
• $\{5,7,8\}$ (так как $5+7+8=20$)

В обоих случаях $A+C+F=20\text{.}$ Подставим это значение в выражение для суммы:

$$S=100D+10(B+E)+20=10\cdot (10D+B+E+2)$$

2. По условию, сумма $S$ должна делиться на 10, но не должна делиться на 20. Это означает, что число $\frac{S}{10}=10D+B+E+2$ должно быть нечётным.
Поскольку слагаемые $10D$ и $2$ всегда чётные, для нечётности всей суммы необходимо и достаточно, чтобы сумма $B+E$ была нечётной. То есть среди цифр $B$ и $E$ одна должна быть чётной, а другая нечётной.

Рассмотрим два возможных случая для единиц:

• Случай 1: Единицы $\{A,C,F\}=\{2,9,9\}\text{.}$
  Тогда оставшиеся цифры для десятков и сотен — $\{5,7,8\}\text{.}$
  Чтобы сумма десятков $B+E$ была нечётной, мы должны выбрать одну чётную цифру (это только $8$) и одну нечётную (либо $5\text{,}$ либо $7$).
  • Если $\{B,E\}=\{5,8\}\text{,}$ то для сотен остаётся цифра $D=7\text{.}$
    Тогда сумма равна:

$$S=100\cdot 7+10\cdot (5+8)+20=700+130+20=850$$

Пример выражения: $ 2 + 59 + 789 = 850 \text{.}$

• Если $\{B,E\}=\{7,8\}\text{,}$ то для сотен остаётся цифра $D=5\text{.}$
  Тогда сумма равна:

$$S=100\cdot 5+10\cdot (7+8)+20=500+150+20=670$$

Пример выражения: $ 2 + 79 + 589 = 670 \text{.}$

• Случай 2: Единицы $\{A,C,F\}=\{5,7,8\}\text{.}$
  Тогда оставшиеся цифры — $\{2,9,9\}\text{.}$
  Чтобы сумма $B+E$ была нечётной, мы должны выбрать одну чётную цифру (это $2$) и одну нечётную (это $9$). Для сотен остаётся цифра $D=9\text{.}$
  Тогда сумма равна:

$$S=100\cdot 9+10\cdot (2+9)+20=900+110+20=1030$$

Пример выражения: $5+27+998=1030\text{.}$

В качестве ответа можно указать любое из полученных чисел: 670, 850 или 1030.