Задача №13997

Найдите четырёхзначное натуральное число, большее $1450\text{,}$ но меньшее $2000\text{,}$ которое делится на $24$ и сумма цифр которого равна $12\text{.}$ В ответе укажите какое-нибудь одно такое число.

Пусть искомое четырёхзначное число равно $n\text{.}$ По условию $1450<n<2000\text{,}$ следовательно, первая цифра числа равна $1\text{.}$ Обозначим число как $\overline{1abc}\text{.}$

1. Сумма цифр числа равна $12\text{:}$

2. Число делится на $24\text{,}$ что означает одновременную делимость на $3$ и на $8$ (так как $24=3\cdot 8$ и числа $3$ и $8$ взаимно просты):

• Признак делимости на $3\text{:}$ сумма цифр должна делиться на $3\text{.}$ В нашем случае сумма цифр равна $12\text{,}$ что делится на $3\text{,}$ поэтому условие выполняется автоматически.
• Признак делимости на $8\text{:}$ число, образованное последними тремя цифрами ($\overline{abc}$), должно делиться на $8\text{.}$

3. Так как число больше $1450\text{,}$ рассмотрим возможные значения цифры $a$ (сотни):

• Если $a=5\text{,}$ то $b+c=11-5=6\text{.}$ Возможные варианты для числа $\overline{5bc}\text{:}$ $506\text{,}$ $515\text{,}$ $524\text{,}$ $533\text{,}$ $542\text{,}$ $551\text{,}$ $560\text{.}$

Проверим их на делимость на $8\text{:}$

• $506\text{:}$ не делится на $8$ (остаток $2$);
• $515\text{:}$ нечётное, не делится;
• $524\text{:}$ не делится на $8$ (остаток $4$);
• $560\text{:}$ $560=8\cdot 70$ — делится.

Следовательно, число $1560$ подходит по всем критериям: оно больше $1450\text{,}$ меньше $2000\text{,}$ сумма его цифр $1+5+6+0=12$ и оно делится на $24$ ($1560=24\cdot 65$).

Аналогичным перебором можно найти и другие подходящие числа: $1632\text{,}$ $1704\text{,}$ $1920\text{.}$

Ответ: 1560