Задача №14083

Вычеркните в числе $82584703$ три цифры так, чтобы получившееся число делилось на $18\text{.}$ В ответе укажите какое-нибудь одно получившееся число.

Число делится на $18$ тогда и только тогда, когда оно делится на $2$ и на $9$ одновременно.

1. Признак делимости на $2\text{:}$ число должно быть чётным, то есть его последняя цифра должна быть чётной ($0;2;4;6$ или $8$).
2. Признак делимости на $9\text{:}$ сумма цифр числа должна делиться на $9\text{.}$

Исходное число: $82584703\text{.}$
Сумма его цифр: $8+2+5+8+4+7+0+3=37\text{.}$

Нам необходимо вычеркнуть $3$ цифры так, чтобы осталось $5$ цифр. Так как искомое число должно быть чётным, цифра $3$ на конце исходного числа обязательно должна быть вычеркнута (так как за ней нет чётных цифр).

Рассмотрим возможные варианты после вычеркивания цифры $3\text{:}$
Остаётся последовательность $8,2,5,8,4,7,0\text{.}$ Сумма этих цифр равна $37-3=34\text{.}$
Чтобы итоговая сумма $5$ цифр делилась на $9\text{,}$ она может быть равна $27$ или $18$ (так как мы удаляем ещё две цифры).

Вариант 1: Сумма равна $27\text{.}$
Для этого нужно вычеркнуть две цифры, сумма которых равна $34-27=7\text{.}$
Среди оставшихся цифр $(8;2;5;8;4;7;0)$ парами с суммой $7$ являются: ($2$ и $5$) или ($7$ и $0$).

• Если вычеркнуть $2$ и $5$ (и ранее $3$), останется число $88470\text{.}$ Оно чётное, сумма цифр $27\text{.}$ Подходит.
• Если вычеркнуть $7$ и $0$ (и ранее $3$), останется число $82584\text{.}$ Но в этом случае $4$ станет последней цифрой. Проверим: $82584$ — чётное, сумма цифр $8+2+5+8+4=27\text{.}$ Подходит.

Вариант 2: Сумма равна $18\text{.}$
Для этого нужно вычеркнуть две цифры, сумма которых равна $34-18=16\text{.}$
Это пара ($8$ и $8$).

• Если вычеркнуть обе восьмёрки (и ранее $3$), останется число $25470\text{.}$ Оно чётное, сумма цифр $18\text{.}$ Подходит.

Также можно было вычеркнуть последние три цифры исходного числа: $7,0$ и $3\text{.}$ Тогда останется число $82584\text{,}$ которое мы уже проверили.

В ответе можно указать любое из найденных чисел: $82584\text{,}$ $88470$ или $25470\text{.}$

Ответ: 82584