Задача №14095

Найдите четырёхзначное число, большее $2000\text{,}$ но меньшее $2400\text{,}$ которое делится на $36$ и сумма цифр которого равна $18\text{.}$ В ответе укажите какое-нибудь одно такое число.

Пусть искомое четырёхзначное число равно $n\text{.}$ По условию $2000<n<2400\text{.}$ Это означает, что первая цифра числа (тысячи) равна $2\text{,}$ а вторая цифра (сотни) может быть $0;1;2$ или $3\text{.}$

Запишем число в виде $\overline{2xyz}\text{,}$ где $x\in \{0;1;2;3\}\text{.}$

Число делится на $36$ тогда и только тогда, когда оно делится одновременно на $4$ и на $9$ (так как $36=4\cdot 9\text{,}$ а $4$ и $9$ взаимно просты).

1. Делимость на 9: сумма цифр числа должна быть кратна $9\text{.}$ По условию сумма цифр равна $18\text{,}$ что делится на $9\text{.}$ Значит, признак делимости на $9$ выполняется.

Из условия суммы цифр получим уравнение:

2. Делимость на 4: число, образованное последними двумя цифрами ($\overline{yz}$), должно делиться на $4\text{.}$

Рассмотрим возможные варианты для цифры сотен $x\text{:}$

• Если $x=0\text{,}$ то $y+z=16\text{.}$ Возможные двузначные числа $\overline{yz}\text{:}$ $79;88;97\text{.}$ Из них на $4$ делится только $88\text{.}$ Получаем число $2088\text{.}$
• Если $x=1\text{,}$ то $y+z=15\text{.}$ Возможные двузначные числа $\overline{yz}\text{:}$ $69;78;87;96\text{.}$ Из них на $4$ делится только $96\text{.}$ Получаем число $2196\text{.}$
• Если $x=2\text{,}$ то $y+z=14\text{.}$ Возможные двузначные числа $\overline{yz}\text{:}$ $59;68;77;86;95\text{.}$ Из них на $4$ делится только $68\text{.}$ Получаем число $2268\text{.}$
• Если $x=3\text{,}$ то $y+z=13\text{.}$ Возможные двузначные числа $\overline{yz}\text{:}$ $49;58;67;76;85;94\text{.}$ Из них на $4$ делится только $76\text{.}$ Получаем число $2376\text{.}$

Все найденные числа ($2088;2196;2268;2376$) удовлетворяют условиям задачи. В качестве ответа можно указать любое из них.

Ответ: 2088