Задача №14082

Вычеркните в числе $86957205$ три цифры так, чтобы получившееся число делилось на $60\text{.}$ В ответе укажите какое-нибудь одно получившееся число.

Чтобы число делилось на $60\text{,}$ оно должно одновременно делиться на $3$ и на $20$ (так как $60=3\cdot 20$).

1. Признак делимости на $20\text{:}$ число должно оканчиваться на $0\text{,}$ а цифра перед ним (цифра десятков) должна быть чётной ($0\text{;}$ $2\text{;}$ $4\text{;}$ $6$ или $8$).

2. Признак делимости на $3\text{:}$ сумма цифр числа должна делиться на $3\text{.}$

Рассмотрим исходное число $86957205\text{:}$

• Чтобы число оканчивалось на $0\text{,}$ необходимо вычеркнуть последнюю цифру $5\text{.}$ Получаем число $8695720\text{.}$
• В полученном числе $8695720$ цифра десятков — $2$ (чётная), что удовлетворяет условию делимости на $20\text{.}$ Чтобы $2$ осталась на месте десятков, а $0$ — на месте единиц, мы должны сохранить этот блок в конце числа.
• Теперь нужно вычеркнуть ещё две цифры из набора $\{8;6;9;5;7\}$ так, чтобы итоговое пятизначное число делилось на $3\text{.}$

3. Вычислим сумму цифр числа $8695720\text{:}$

Нам нужно вычеркнуть две цифры $a$ и $b$ такие, чтобы сумма $37-(a+b)$ делилась на $3\text{.}$ Поскольку $37$ при делении на $3$ даёт остаток $1\text{,}$ сумма $a+b$ также должна давать остаток $1$ при делении на $3\text{.}$

4. Подберём подходящие цифры:

• Если вычеркнуть $9$ и $7\text{,}$ то $a+b=9+7=16\text{.}$ Остаток от деления $16$ на $3$ равен $1\text{.}$ Сумма оставшихся цифр: $37-16=21$ (делится на $3$).
• Получившееся число: $86520\text{.}$

5. Проверка:

• Число $86520$ оканчивается на $20\text{,}$ значит, оно делится на $20\text{.}$
• Сумма цифр $8+6+5+2+0=21$ делится на $3\text{.}$
• Следовательно, число $86520$ делится на $60\text{.}$

Аналогично можно получить числа $89520$ (вычеркнув $6\text{,}$ $7$ и $5$) или $69720$ (вычеркнув $8\text{,}$ $5$ и $5$).

Ответ: $86520$