Задача №14076

Про натуральные числа $A,B$ и $C$ известно, что каждое из них больше $4\text{,}$ но меньше $8\text{.}$ Загадали натуральное число, затем его умножили на $A\text{,}$ потом прибавили к полученному произведению $B$ и вычли $C\text{.}$ Получилось $417\text{.}$ Какое число было загадано?

Пусть загаданное натуральное число равно $x\text{.}$ По условию задачи числа $A,B$ и $C$ — натуральные, больше $4\text{,}$ но меньше $8\text{.}$ Следовательно, они могут принимать значения из множества $\{5;6;7\}\text{.}$

Согласно алгоритму в условии, составим уравнение:

Преобразуем его, чтобы выразить произведение $A\cdot x\text{:}$

Так как $B$ и $C$ принимают значения $5,6$ или $7\text{,}$ разность $(C-B)$ может принимать значения из множества $\{-2;-1;0;1;2\}\text{.}$ Тогда возможные значения для выражения $A\cdot x\text{:}$

1. Если $C-B=-2\text{,}$ то $A\cdot x=415\text{.}$
2. Если $C-B=-1\text{,}$ то $A\cdot x=416\text{.}$
3. Если $C-B=0\text{,}$ то $A\cdot x=417\text{.}$
4. Если $C-B=1\text{,}$ то $A\cdot x=418\text{.}$
5. Если $C-B=2\text{,}$ то $A\cdot x=419\text{.}$

Загаданное число $x$ должно быть натуральным, поэтому число в правой части должно нацело делиться на одно из возможных значений $A\in \{5;6;7\}\text{.}$

• Проверим делимость на $A=5\text{:}$ число должно оканчиваться на $0$ или $5\text{.}$ Подходит только $415\text{.}$ Тогда $x=\frac{415}{5}=83\text{.}$ В этом случае $C-B=-2\text{,}$ что возможно при $B=7$ и $C=5\text{.}$
• Проверим делимость на $A=6\text{:}$ число должно быть четным и сумма его цифр должна делиться на $3\text{.}$ Четные числа в списке — $416$ и $418\text{.}$ Сумма цифр $416$ равна $11\text{,}$ сумма цифр $418$ равна $13\text{.}$ Оба не делятся на $3\text{.}$
• Проверим делимость на $A=7\text{:}$
  $415=7\cdot 59+2\text{;}$
  $416=7\cdot 59+3\text{;}$
  $417=7\cdot 59+4\text{;}$
  $418=7\cdot 59+5\text{;}$
  $419=7\cdot 59+6\text{.}$
  Ни одно число не делится на $7\text{.}$

Таким образом, единственное возможное значение для загаданного числа — $83\text{.}$

Ответ: 83