Задача №14063

Вычеркните в числе $48725459$ три цифры так, чтобы получившееся число делилось на $15\text{.}$ В ответе укажите какое-нибудь одно получившееся число.

Для того чтобы число делилось на $15\text{,}$ оно должно одновременно делиться на $3$ и на $5\text{.}$

1. Признак делимости на $5\text{:}$ число должно оканчиваться на $0$ или на $5\text{.}$ В исходном числе $48725459$ нулей нет, поэтому результирующее число должно оканчиваться на $5\text{.}$ Чтобы последней цифрой стала $5\text{,}$ необходимо обязательно вычеркнуть последнюю цифру $9\text{.}$ В этом случае число будет оканчиваться на вторую пятёрку.

2. Признак делимости на $3\text{:}$ сумма цифр числа должна делиться на $3\text{.}$

Вычислим сумму цифр исходного числа:

Поскольку мы уже вычеркнули цифру $9\text{,}$ сумма оставшихся семи цифр составляет:

Нам необходимо вычеркнуть ещё две цифры из оставшихся так, чтобы итоговая сумма пяти цифр делилась на $3\text{.}$ Пусть $S$ — сумма двух дополнительных вычеркнутых цифр. Тогда выражение $(35-S)$ должно быть кратно $3\text{.}$

Рассмотрим возможные варианты:

• Если сумма оставшихся цифр равна $24\text{,}$ то $S=35-24=11\text{.}$ Сумму $11$ можно получить, вычеркнув цифры $7$ и $4\text{.}$
• Вычеркнем цифру $7$ (стоящую на 3-й позиции) и цифру $4$ (стоящую на 6-й позиции). Также не забываем про вычеркнутую ранее цифру $9$ (8-я позиция).

Проверим получившееся число:
Исходное число: 4 8 (7) 2 5 (4) 5 (9) (в скобках указаны вычеркнутые цифры).
Результат: $48255\text{.}$

Проверка признаков делимости для числа $48255\text{:}$

• Последняя цифра — $5\text{,}$ значит, число делится на $5\text{.}$
• Сумма цифр:

Число $24$ делится на $3\text{,}$ значит, и само число делится на $3\text{.}$

• Так как число делится на $3$ и на $5\text{,}$ оно делится на $15\text{.}$

Другими возможными вариантами ответа являются числа $87255$ (вычеркнуты первая цифра $4\text{,}$ шестая цифра $4$ и девятка) или $82455$ (вычеркнуты первая цифра $4\text{,}$ семерка и девятка).

Ответ: 48255