Задача №14057

Найдите четырёхзначное число, кратное 12, произведение цифр которого больше 50, но меньше 55. В ответе укажите какое-нибудь одно такое число.

1. Обозначим искомое число как $N\text{.}$ По условию оно четырёхзначное и кратно 12. Число делится на 12 тогда и только тогда, когда оно одновременно делится на 3 и на 4.

— Признак делимости на 3: сумма цифр числа должна делиться на 3.
— Признак делимости на 4: число, образованное последними двумя цифрами, должно делиться на 4.

2. Произведение цифр числа $P$ должно находиться в интервале $50<P<55\text{.}$ Возможные целые значения произведения: 51, 52, 53, 54. Разложим эти числа на множители, которые могут быть цифрами (от 1 до 9):

— $51=3\cdot 17$ (17 не является цифрой);
— $52=2\cdot 2\cdot 13$ (13 не является цифрой);
— $53$ — простое число (53 не является цифрой);
— $54=2\cdot 3\cdot 3\cdot 3\text{.}$

3. Найдём возможные наборы из четырёх цифр, произведение которых равно 54:

— $\{1;1;6;9\}\text{:}$ сумма цифр $1+1+6+9=17$ (не делится на 3);
— $\{1;2;3;9\}\text{:}$ сумма цифр $1+2+3+9=15$ (делится на 3);
— $\{1;3;3;6\}\text{:}$ сумма цифр $1+3+3+6=13$ (не делится на 3);
— $\{2;3;3;3\}\text{:}$ сумма цифр $2+3+3+3=11$ (не делится на 3).

Подходит только набор цифр $\{1;2;3;9\}\text{.}$

4. Составим из цифр 1, 2, 3, 9 число, кратное 4. Для этого последние две цифры должны образовывать число, делящееся на 4. Возможные варианты окончаний:

— $12$ (делится на 4), остаток цифр 3 и 9. Возможные числа: 3912, 9312;
— $32$ (делится на 4), остаток цифр 1 и 9. Возможные числа: 1932, 9132;
— $92$ (делится на 4), остаток цифр 1 и 3. Возможные числа: 1392, 3192.

5. Проверим число 1392:

— Произведение цифр: $1\cdot 3\cdot 9\cdot 2=54$ (условие $50<54<55$ выполнено);
— Делимость на 12: $1392:12=116$ (условие выполнено).

Можно выбрать любое из найденных чисел: 1392, 3192, 1932, 9132, 3912, 9312.

Ответ: 1392