Задача №14056

В доме всего десять квартир с номерами от 1 до 10. В каждой квартире живёт не меньше одного и не больше четырёх человек. В квартирах с 1-й по 6-ю включительно живёт суммарно 9 человек, а в квартирах с 4-й по 10-ю включительно живёт суммарно 22 человека. Сколько всего человек живёт в этом доме?

Обозначим количество жильцов в каждой квартире через $x_1,x_2,\dots ,x_{10}\text{.}$ По условию в каждой квартире живёт от 1 до 4 человек, то есть $1⩽x_i⩽4$ для любого $i\text{.}$

Запишем данные задачи в виде уравнений:

1. Сумма жильцов в квартирах с 1-й по 6-ю:

2. Сумма жильцов в квартирах с 4-й по 10-ю:

Пусть $A=x_1+x_2+x_3\text{,}$ $B=x_4+x_5+x_6$ и $C=x_7+x_8+x_9+x_{10}\text{.}$ Тогда уравнения выглядят так:

Нам нужно найти общее количество человек: $S=A+B+C\text{.}$

Оценим значения $A,B,C\text{,}$ исходя из того, что в каждой квартире от 1 до 4 человек:

• Для 3-х квартир (группы $A$ и $B$): минимальная сумма $3\cdot 1=3\text{,}$ максимальная — $3\cdot 4=12\text{.}$ Значит, $3⩽A⩽12$ и $3⩽B⩽12\text{.}$
• Для 4-х квартир (группа $C$): минимальная сумма $4\cdot 1=4\text{,}$ максимальная — $4\cdot 4=16\text{.}$ Значит, $4⩽C⩽16\text{.}$

Используем уравнения для уточнения значения $B\text{:}$

• Из уравнения $A+B=9$ следует $B=9-A\text{.}$ Так как $A⩾3\text{,}$ получаем $B⩽9-3=6\text{.}$
• Из уравнения $B+C=22$ следует $B=22-C\text{.}$ Так как $C⩽16\text{,}$ получаем $B⩾22-16=6\text{.}$

Таким образом, $B$ одновременно не больше 6 и не меньше 6. Это возможно только при $B=6\text{.}$

Теперь найдём остальные суммы:

Общее количество человек в доме:

Проверим, возможно ли такое распределение жильцов:

• Если $A=3\text{,}$ то в 1, 2, 3-й квартирах живёт по 1 человеку.
• Если $B=6\text{,}$ то в 4, 5, 6-й квартирах может жить, например, по 2 человека.
• Если $C=16\text{,}$ то в 7, 8, 9, 10-й квартирах живёт по 4 человека.

Все условия (от 1 до 4 человек в квартире) соблюдены.

Ответ: 25