Задача №14052

Найдите шестизначное натуральное число, которое записывается только цифрами 2 и 0 и делится на 30. В ответе укажите какое-нибудь одно такое число.

1. Число делится на 30, значит, делится на 2, 3 и 5.
2. Делимость на 2 и 5: последняя цифра должна быть 0.
3. Делимость на 3: сумма цифр должна делиться на 3.
4. Число шестизначное, первая цифра не может быть 0, поэтому первая цифра равна 2.
5. Пусть цифры на позициях 2, 3, 4, 5 (между первой и последней) равны $b,c,d,e\text{,}$ каждый из которых равен 0 или 2.
6. Сумма всех цифр: $2+b+c+d+e+0=2+S\text{,}$ где $S=b+c+d+e\text{.}$
7. $2+S$ должно делиться на 3. $S$ чётное, так как каждое слагаемое чётное, и $0\le S\le 8\text{.}$
8. Решим сравнение $2+S\equiv 0(\mathrm{mod}3)\text{,}$ откуда $S\equiv 1(\mathrm{mod}3)\text{.}$
9. Среди чётных чисел от 0 до 8 только $S=4$ удовлетворяет этому условию (4 mod 3 = 1).
10. $S=4$ означает, что среди четырёх цифр $b,c,d,e$ ровно две двойки и два нуля.
11. Таким образом, искомое число имеет вид: первая цифра 2, последняя 0, а на позициях 2-5 ровно две двойки, остальные нули.
12. Пример такого числа: 220200 (цифры: 2, 2, 0, 2, 0, 0; сумма 6, последняя 0).

Ответ: 220200