Задача №14030

Четырёхзначное число $A$ составлено из цифр 0, 1, 5, 6, а четырёхзначное число $B$ — из цифр 0, 1, 2, 3. Известно, что $B=2A\text{.}$ Найдите число $A\text{.}$ В ответе запишите какое-нибудь одно такое число.

Поскольку число $A$ четырёхзначное и составлено из цифр 0, 1, 5, 6, то все эти цифры используются ровно по одному разу. Аналогично, число $B$ составлено из цифр 0, 1, 2, 3, и все цифры различны.

Так как $B=2A$ и $B$ — четырёхзначное число, то $1000⩽B⩽9999\text{.}$ Но $B$ состоит из цифр 0, 1, 2, 3, поэтому наименьшее возможное $B$ — 1023, наибольшее — 3210. Следовательно:

Число $A$ четырёхзначное, поэтому $A⩾1000\text{,}$ значит, фактически $1000⩽A⩽1605\text{.}$

Цифры числа $A\text{:}$ 0, 1, 5, 6. Первая цифра (разряд тысяч) не может быть 0, поэтому возможные варианты для первой цифры: 1, 5, 6. Но если первая цифра 5 или 6, то $A⩾5000\text{,}$ что противоречит условию $A⩽1605\text{.}$ Значит, первая цифра $A$ равна 1.

Таким образом, $A$ имеет вид $\overline{1abc}\text{,}$ где $a,b,c$ — это перестановка цифр $\{0;5;6\}\text{.}$ Всего таких чисел $3!=6\text{:}$

1. 1056
2. 1065
3. 1506
4. 1560
5. 1605
6. 1650

Вычислим $2A$ для каждого случая и проверим, является ли результат перестановкой цифр $\{0;1;2;3\}\text{:}$

• $2\cdot 1056=2112$ — цифры 2, 1, 1, 2 (не подходит);
• $2\cdot 1065=2130$ — цифры 2, 1, 3, 0 (подходит);
• $2\cdot 1506=3012$ — цифры 3, 0, 1, 2 (подходит);
• $2\cdot 1560=3120$ — цифры 3, 1, 2, 0 (подходит);
• $2\cdot 1605=3210$ — цифры 3, 2, 1, 0 (подходит);
• $2\cdot 1650=3300$ — цифры 3, 3, 0, 0 (не подходит).

Итак, условию удовлетворяют числа $A\text{:}$ 1065, 1506, 1560, 1605. По условию в ответ нужно записать какое-нибудь одно такое число.

Ответ: 1065