Задача №14027

Вычеркните в числе $78764138$ три цифры так, чтобы получившееся число делилось на $12\text{.}$ В ответе укажите какое-нибудь одно получившееся число.

Для того чтобы число делилось на $12\text{,}$ оно должно делиться на $3$ и на $4\text{.}$

1. Делимость на $4\text{:}$ число, составленное из последних двух цифр, должно делиться на $4\text{.}$
2. Делимость на $3\text{:}$ сумма всех цифр числа должна делиться на $3\text{.}$

Исходное число: $78764138\text{.}$ После вычёркивания трёх цифр получится число из пяти цифр.

Удобно рассмотреть случай, когда последней цифрой нового числа является последняя цифра исходного — $8\text{.}$ Тогда предпоследняя цифра должна быть чётной, чтобы двузначное число из предпоследней цифры и $8$ делилось на $4\text{.}$

Из цифр исходного, которые могут стоять перед $8$ в новом числе, подходящие чётные цифры: $6$ и $4\text{.}$

Рассмотрим вариант с предпоследней цифрой $6\text{.}$ Цифра $6$ находится на четвёртой позиции в исходном числе. Чтобы она стала предпоследней, а $8$ — последней, нужно вычеркнуть все цифры между ними: цифры на позициях $5,6,7$ (цифры $4,1,3$). Оставшиеся цифры: первые три цифры (позиции $1,2,3$) — $7,8,7$ — и цифры на позициях $4$ и $8\text{.}$ Получаем число $78768\text{.}$

Проверим условия делимости для числа $78768\text{:}$

• последние две цифры — $68\text{,}$ $68:4=17$ (делится);
• сумма цифр: $7+8+7+6+8=36\text{,}$ $36$ делится на $3\text{.}$

Значит, число $78768$ делится на $12\text{.}$ (Можно получить и другие числа, например $78648$ или $87648\text{,}$ но по условию достаточно укажите одно.)

Ответ: 78768