В таблице три столбца и несколько строк. В каждую клетку таблицы вписали по натуральному числу так, что сумма всех чисел в первом столбце равна 125, во втором — 97, в третьем — 71, а сумма чисел в каждой строке больше 23, но меньше 26. Сколько всего строк в таблице?
Пусть n — количество строк в таблице.
Сумма всех чисел в таблице равна сумме чисел по столбцам:
125+97+71=293.В каждой строке сумма чисел — натуральное число, и по условию она больше 23 и меньше 26, значит, она может быть равна только 24 или 25.
Пусть k — количество строк, сумма чисел в которых равна 24, тогда оставшиеся n−k строк имеют сумму 25.
Общая сумма чисел в таблице может быть выражена следующим образом:
24k+25(n−k)=24k+25n−25k=25n−k.Приравняем это значение к общей сумме всех чисел в таблице:
25n−k=293⇒k=25n−293.Так как k — количество строк, то это целое неотрицательное число, причём k⩽n.
1. Рассмотрим условие k⩾0:
25n−293⩾0⇒25n⩾293⇒n⩾25293=11,72.Следовательно, целое число n⩾12.
2. Рассмотрим условие k⩽n:
25n−293⩽n⇒24n⩽293⇒n⩽24293≈12,208.Следовательно, целое число n⩽12.
Из полученных ограничений 12⩽n⩽12 следует, что n=12.
Найдём значение k:
k=25⋅12−293=300−293=7.Таким образом, в таблице 12 строк (7 строк с суммой элементов 24 и 5 строк с суммой элементов 25).
Проверим существование такой таблицы с натуральными числами. Например:
Проверим суммы по столбцам:
Все условия задачи выполнены.
Ответ: 12
Проверить решение?
Покажи своё решение — проверю и покажу, где ошибка
Потренируйся на похожих — ИИ проверит твои решения
1
Задачи повышенной сложности
ФИПИ