Задача №14006

Найдите шестизначное натуральное число, которое записывается только цифрами $2$ и $0$ и делится на $24\text{.}$ В ответе укажите какое-нибудь одно такое число.

Число должно делиться на $24\text{,}$ а так как $24=8\cdot 3\text{,}$ то оно должно делиться и на $8\text{,}$ и на $3\text{.}$

1. Условие делимости на $8\text{:}$ число делится на $8\text{,}$ если число, образованное его последними тремя цифрами, делится на $8\text{.}$

2. Условие делимости на $3\text{:}$ число делится на $3\text{,}$ если сумма его цифр делится на $3\text{.}$

3. По условию число шестизначное и записывается только цифрами $2$ и $0\text{.}$ Первая цифра не может быть $0\text{,}$ поэтому первая цифра — $2\text{.}$ Пусть $k$ — количество цифр $2$ в числе. Тогда сумма цифр равна $2k\text{.}$ Для делимости на $3$ необходимо, чтобы $2k$ делилось на $3\text{.}$ Так как $2$ и $3$ взаимно просты, $k$ должно делиться на $3\text{.}$ Поскольку число шестизначное и начинается с $2\text{,}$ $k⩾1\text{.}$ Возможные значения $k\text{:}$ $3$ или $6\text{.}$

4. Если $k=6\text{,}$ то все цифры — двойки, число равно $222222\text{.}$ Проверим делимость на $8\text{:}$ последние три цифры $222\text{,}$ $222$ не делится на $8$ (так как $222:8=27,75$). Значит, $k=6$ не подходит.

5. Если $k=3\text{,}$ то в числе ровно три цифры $2$ и три цифры $0\text{.}$ Первая цифра $2\text{,}$ поэтому оставшиеся две двойки могут находиться в любых из пяти других позиций.

6. Для делимости на $8$ найдём все возможные трёхзначные комбинации из цифр $2$ и $0\text{,}$ которые делятся на $8\text{.}$ Перечислим: $000,002,020,022,200,202,220,222\text{.}$ Проверим делимость на $8\text{:}$

• $000\text{:}$ $0$ делится на $8\text{;}$
• $200\text{:}$ $200:8=25\text{,}$ делится.

Остальные не делятся. Значит, последние три цифры должны быть либо $000\text{,}$ либо $200\text{.}$

7. Рассмотрим случай, когда последние три цифры $000\text{.}$ Тогда в первых трёх цифрах должны быть все три двойки. Поскольку первая цифра уже $2\text{,}$ то вторая и третья цифры также должны быть $2\text{.}$ Получаем число $222000\text{.}$

Проверка: сумма цифр $2+2+2+0+0+0=6\text{,}$ делится на $3\text{.}$ Последние три цифры $000\text{,}$ число $0$ делится на $8\text{.}$ Следовательно, $222000$ делится на $24\text{.}$

8. Рассмотрим случай, когда последние три цифры $200\text{.}$ Тогда последние три цифры: $D=2,E=0,F=0$ (для числа вида $ABCDEF$). Первая цифра $A=2\text{.}$ Уже есть две двойки: $A$ и $D\text{.}$ Чтобы всего было три двойки, одна из позиций $B$ или $C$ должна быть $2\text{,}$ а другая — $0\text{.}$

• Если $B=2,C=0\text{,}$ число: $220200\text{;}$
• Если $B=0,C=2\text{,}$ число: $202200\text{.}$

Проверка для $220200\text{:}$ сумма цифр $2+2+0+2+0+0=6\text{,}$ делится на $3\text{;}$ последние три цифры $200\text{,}$ делится на $8\text{.}$ Аналогично для $202200\text{:}$ сумма цифр $6\text{,}$ последние три цифры $200\text{.}$

9. Все найденные числа ($222000,220200,202200$) являются шестизначными, состоят только из цифр $2$ и $0$ и делятся на $24\text{.}$

10. В ответе можно указать любое из них, например, $222000\text{.}$

Ответ: 222000