Задача №13985

Найдите четырёхзначное число, большее $1000\text{,}$ но меньшее $1700\text{,}$ которое делится на $45$ и сумма цифр которого равна $18\text{.}$ В ответе укажите какое-нибудь одно такое число.

Пусть искомое четырёхзначное число имеет вид $\overline{1abc}\text{,}$ так как по условию оно больше $1000\text{,}$ но меньше $1700\text{.}$

Число делится на $45$ тогда и только тогда, когда оно делится одновременно на $5$ и на $9\text{.}$

1. Согласно признаку делимости на $5\text{,}$ число должно оканчиваться на $0$ или на $5\text{.}$ То есть цифра $c$ равна $0$ или $5\text{.}$

2. Согласно признаку делимости на $9\text{,}$ сумма цифр числа должна делиться на $9\text{.}$ По условию сумма цифр равна $18\text{,}$ что уже удовлетворяет этому признаку:

$1+a+b+c=18\Rightarrow a+b+c=17$

3. Рассмотрим случай $c=0\text{:}$

$a+b+0=17\Rightarrow a+b=17$

Так как число меньше $1700\text{,}$ цифра сотен $a$ может принимать значения от $0$ до $6\text{.}$ Но если $a⩽6\text{,}$ то даже при максимальном значении $b=9$ их сумма составит не более $6+9=15\text{.}$ Значит, решений при $c=0$ в заданном диапазоне нет.

4. Рассмотрим случай $c=5\text{:}$

$a+b+5=17\Rightarrow a+b=12$

С учётом ограничения $a⩽6$ подберём возможные значения:

• Если $a=3\text{,}$ то $b=9\text{.}$ Получаем число $1395\text{.}$
• Если $a=4\text{,}$ то $b=8\text{.}$ Получаем число $1485\text{.}$
• Если $a=5\text{,}$ то $b=7\text{.}$ Получаем число $1575\text{.}$
• Если $a=6\text{,}$ то $b=6\text{.}$ Получаем число $1665\text{.}$

Все найденные числа ($1395\text{,}$ $1485\text{,}$ $1575\text{,}$ $1665$) удовлетворяют всем условиям задачи.

Ответ: 1395