Задача №13971

Найдите четырёхзначное число, которое в 3 раза меньше четвёртой степени некоторого натурального числа. В ответе укажите какое-нибудь одно такое число.

Пусть искомое четырёхзначное число равно $n\text{,}$ а натуральное число, четвёртая степень которого в 3 раза больше $n\text{,}$ равно $x\text{.}$ Тогда по условию:

Так как $n$ — целое число, то $x^4$ должно делиться на 3. Поскольку 3 — простое число, это означает, что само число $x$ должно делиться на 3. Обозначим $x=3k\text{,}$ где $k\in \mathbb{N}\text{.}$

Подставим это выражение в формулу для $n\text{:}$

По условию число $n$ является четырёхзначным, то есть должно выполняться неравенство:

Разделим все части неравенства на 27:

Подберём натуральные значения $k\text{,}$ удовлетворяющие этому условию:

1. При $k=1\text{:}$ $k^4=1$ (не подходит);
2. При $k=2\text{:}$ $k^4=16$ (не подходит);
3. При $k=3\text{:}$ $k^4=81$ (подходит, так как $37,037<81<370,333$);
4. При $k=4\text{:}$ $k^4=256$ (подходит, так как $37,037<256<370,333$);
5. При $k=5\text{:}$ $k^4=625$ (не подходит, так как $625>370,333$).

Вычислим возможные значения $n\text{:}$

1. Если $k=3\text{,}$ то $n=27\cdot 3^4=27\cdot 81=2187\text{.}$
2. Если $k=4\text{,}$ то $n=27\cdot 4^4=27\cdot 256=6912\text{.}$

В ответе необходимо указать одно такое число.

Ответ: 2187