Задача №13970

Найдите трёхзначное число $A\text{,}$ обладающее тремя свойствами:

• сумма цифр числа $A$ делится на 5;
• сумма цифр числа $A+3$ делится на 5;
• число $A$ больше 700 и меньше 900.

В ответе укажите какое-нибудь одно такое число $A\text{.}$

Число $A$ трёхзначное, $700<A<900\text{,}$ поэтому сотни $a=7$ или $8\text{.}$ Пусть сумма цифр числа $A$ равна $s\text{.}$

По условию, сумма цифр числа $A$ делится на 5, то есть $s\equiv 0(\mathrm{mod}5)\text{.}$ Также сумма цифр числа $A+3$ делится на 5.

При прибавлении 3 к числу $A$ возможен перенос. Рассмотрим случаи.

Если переноса нет, то сумма цифр числа $A+3$ будет $s+3\text{.}$ Тогда из $s\equiv 0(\mathrm{mod}5)$ и $s+3\equiv 0(\mathrm{mod}5)$ следует $3\equiv 0(\mathrm{mod}5)\text{,}$ что неверно.

Если перенос только в единицах, то новая сумма цифр равна $s-6\text{.}$ Условие $s\equiv 0(\mathrm{mod}5)$ и $s-6\equiv 0(\mathrm{mod}5)$ даёт $-6\equiv 0(\mathrm{mod}5)\text{,}$ что также неверно.

Если двойной перенос (десятков и единиц), то $b=9$ и $c\ge 7\text{,}$ и новая сумма цифр равна $s-15\text{.}$ Поскольку $-15$ делится на 5, условие $s\equiv 0(\mathrm{mod}5)$ сохраняется.

Теперь найдём конкретные числа.

Для $a=7\text{:}$ тогда $b=9\text{,}$ так как требуется двойной перенос. Сумма цифр $s=7+9+c=16+c\text{.}$ Из условия $s\equiv 0(\mathrm{mod}5)$ имеем $16+c\equiv 0(\mathrm{mod}5)\text{,}$ откуда $c\equiv 4(\mathrm{mod}5)\text{.}$ Так как $c\ge 7$ и $c$ - цифра, единственное решение $c=9\text{.}$ Получаем $A=799\text{.}$

Для $a=8\text{:}$ аналогично, $b=9\text{,}$ $s=8+9+c=17+c\text{.}$ Условие $s\equiv 0(\mathrm{mod}5)$ даёт $17+c\equiv 0(\mathrm{mod}5)\text{,}$ то есть $c\equiv 3(\mathrm{mod}5)\text{.}$ При $c\ge 7\text{,}$ подходит $c=8\text{.}$ Таким образом, $A=898\text{.}$

Оба числа удовлетворяют условиям. В ответе можно указать любое из них.

Ответ: $799$ или $898$