Задача №13962

Цифры четырёхзначного числа, кратного $5\text{,}$ записали в обратном порядке и получили второе четырёхзначное число. Затем из исходного числа вычли второе и получили $1359\text{.}$ В ответе укажите какое-нибудь одно такое исходное число.

Пусть исходное четырёхзначное число имеет вид $\overline{abcd}=1000a+100b+10c+d\text{,}$ где $a,b,c,d$ — цифры, $a\ne 0\text{.}$

1. По условию число кратно $5\text{,}$ значит, его последняя цифра $d$ равна $0$ или $5\text{.}$

2. Второе число, полученное записью цифр в обратном порядке, равно $\overline{dcba}=1000d+100c+10b+a\text{.}$ Так как это число также является четырёхзначным, его первая цифра $d$ не может быть равна $0\text{.}$ Следовательно, $d=5\text{.}$

3. Составим уравнение по условию разности:

4. Разделим обе части уравнения на $9\text{:}$

5. Рассмотрим последнюю цифру уравнения. Число $10(b-c)$ всегда оканчивается на $0\text{.}$ Значит, последняя цифра произведения $111a$ должна совпадать с последней цифрой числа $706\text{,}$ то есть быть равной $6\text{.}$ Это возможно только при $a=6\text{.}$

6. Подставим $a=6$ в уравнение:

7. Подберём любые цифры $b$ и $c\text{,}$ разность которых равна $4\text{.}$ Например, пусть $c=0\text{,}$ тогда $b=4\text{.}$

Таким образом, исходное число равно $6405\text{.}$

Проверка:
Число $6405$ кратно $5\text{.}$ Обратное число — $5046\text{.}$ Разность: $6405-5046=1359\text{.}$ Условие выполнено.

Ответ: 6405