Найдите шестизначное натуральное число, которое записывается только цифрами 0 и 3 и делится на 90 . В ответе укажите какое-нибудь одно такое число.

Пусть искомое шестизначное число состоит из цифр a_1, a_2, a_3, a_4, a_5, a_6 . 1. Число шестизначное, поэтому a_1 != 0 . Так как по условию используются только цифры 0 и 3 , то a_1 = 3 . 2. Число делится на 90 , а значит, оно одновременно делится на 10 и на 9 . 3. По признаку делимости на 10 число должно оканчиваться на цифру 0 , то есть a_6 = 0 . 4. По признаку делимости на 9 сумма цифр числа должна быть кратна 9 . Сумма уже известных цифр (первой и последней) равна 3 + 0 = 3 . Обозначим сумму четырёх оставшихся цифр через S_(mid) . Тогда общая сумма цифр равна 3 + S_(mid) . 5. Так как оставшиеся четыре цифры могут быть только 0 или 3 , их сумма S_(mid) может принимать значения 0; 3; 6; 9 или 12 . Для того чтобы 3 + S_(mid) делилось на 9 , подходит только вариант S_(mid) = 6 (тогда общая сумма равна 9 ). 6. Сумма четырёх цифр равна 6 , если среди них ровно две тройки и два нуля. Расставим их на любые свободные места (со второго по пятое), например: a_2 = 3, a_3 = 3, a_4 = 0, a_5 = 0 . 7. Искомое число — 333000 . Проверка: число 333000 состоит из цифр 0 и 3 , является шестизначным и делится на 90 : 333000 : 90 = 3700. Ответ: 333000

333000