Задача №13956

Найдите шестизначное натуральное число, которое записывается только цифрами $0$ и $3$ и делится на $90\text{.}$ В ответе укажите какое-нибудь одно такое число.

Пусть искомое шестизначное число состоит из цифр $a_1,a_2,a_3,a_4,a_5,a_6\text{.}$

1. Число шестизначное, поэтому $a_1\ne 0\text{.}$ Так как по условию используются только цифры $0$ и $3\text{,}$ то $a_1=3\text{.}$

2. Число делится на $90\text{,}$ а значит, оно одновременно делится на $10$ и на $9\text{.}$

3. По признаку делимости на $10$ число должно оканчиваться на цифру $0\text{,}$ то есть $a_6=0\text{.}$

4. По признаку делимости на $9$ сумма цифр числа должна быть кратна $9\text{.}$ Сумма уже известных цифр (первой и последней) равна $3+0=3\text{.}$ Обозначим сумму четырёх оставшихся цифр через $S_{\text{mid}}\text{.}$ Тогда общая сумма цифр равна $3+S_{\text{mid}}\text{.}$

5. Так как оставшиеся четыре цифры могут быть только $0$ или $3\text{,}$ их сумма $S_{\text{mid}}$ может принимать значения $0;3;6;9$ или $12\text{.}$ Для того чтобы $3+S_{\text{mid}}$ делилось на $9\text{,}$ подходит только вариант $S_{\text{mid}}=6$ (тогда общая сумма равна $9$).

6. Сумма четырёх цифр равна $6\text{,}$ если среди них ровно две тройки и два нуля. Расставим их на любые свободные места (со второго по пятое), например: $a_2=3,a_3=3,a_4=0,a_5=0\text{.}$

7. Искомое число — $333000\text{.}$

Проверка: число $333000$ состоит из цифр $0$ и $3\text{,}$ является шестизначным и делится на $90\text{:}$

Ответ: $333000$