Задача №13949

Четырёхзначное число $A$ состоит из цифр 2, 3, 7, 8, а четырёхзначное число $B$ — из цифр 4, 5, 6, 7. Известно, что $B=2A\text{.}$ Найдите число $A\text{.}$ В ответе укажите какое-нибудь одно такое число, большее $2500\text{.}$

Пусть четырёхзначное число $A=\overline{abcd}\text{.}$ По условию цифры $a,b,c,d$ являются перестановкой цифр $\{2;3;7;8\}\text{.}$ Число $B=2A$ также является четырёхзначным и состоит из цифр $\{4;5;6;7\}\text{.}$

1. Оценим диапазон для $A\text{.}$ Так как $B$ — четырёхзначное число, то $2A<10000\text{,}$ следовательно, $A<5000\text{.}$ Из набора цифр $\{2;3;7;8\}$ первой цифрой $A$ могут быть только 2 или 3.

2. По условию $A>2500\text{.}$ Если первая цифра $A$ равна 2, то вторая цифра должна быть 7 или 8 (так как 3 меньше 5).

3. Проверим варианты для $A\text{,}$ начинающихся на 2:

• Если $A=2738\text{,}$ то:

Цифры числа $B$ — это 5, 4, 7, 6. Этот набор совпадает с заданным набором $\{4;5;6;7\}\text{.}$ Условие выполняется.

• Если $A=2783\text{,}$ то:

Набор цифр $\{5;5;6;6\}$ не подходит.

• Если $A=2837\text{,}$ то:

Набор цифр $\{5;6;7;4\}$ подходит.

• Если $A=2873\text{,}$ то:

Набор цифр $\{5;7;4;6\}$ подходит.

4. Также можно проверить варианты, начинающиеся на 3 (например, 3287, 3728 и др.), но достаточно указать одно число.

Ответ: 2738