Задача №13928

Цифры четырёхзначного числа, кратного 5, записали в обратном порядке и получили второе четырёхзначное число. Затем из исходного числа вычли второе и получили 4536. В ответе укажите какое-нибудь одно такое исходное число.

Пусть исходное четырёхзначное число имеет цифры $a\text{,}$ $b\text{,}$ $c\text{,}$ $d\text{,}$ где $a$ — цифра разряда тысяч ($a\ne 0$), то есть число равно $N=1000a+100b+10c+d\text{.}$

По условию число $N$ кратно 5, поэтому $d=0$ или $d=5\text{.}$ При записи цифр в обратном порядке получаем число $M=1000d+100c+10b+a\text{.}$ Условие требует, чтобы $M$ также было четырёхзначным. Если $d=0\text{,}$ то $M$ становится трёхзначным (так как первая цифра — 0). Следовательно, $d=5\text{.}$

Тогда:

По условию $N-M=4536\text{.}$ Подставим выражения:

Упростим полученное уравнение:

Разделим обе части на 9:

Здесь $a$ — цифра от 1 до 9, $b$ и $c$ — цифры от 0 до 9, а разность $(b-c)$ — целое число от $-9$ до 9.

Переберём возможные значения $a\text{:}$

1. Если $a=9\text{,}$ то $111\cdot 9=999\text{.}$ Тогда $10(b-c)=1059-999=60\text{,}$ откуда $b-c=6\text{.}$ Это возможно, например, при $c=0\text{,}$ $b=6\text{.}$ Тогда исходное число $N=9605\text{.}$

2. Для $a⩽8$ правая часть $1059-111a$ не делится на 10 (так как последняя цифра разности не будет равна 0), поэтому целых значений $b-c$ не получится.

Таким образом, $a=9\text{,}$ $b-c=6\text{.}$ Выберем, например, $c=0\text{,}$ тогда $b=6\text{.}$ Исходное число:

Проверим: обратное число $M=5069\text{,}$ разность $9605-5069=4536\text{,}$ условие выполнено. Можно также выбрать другие пары $(b;c)$ с $b-c=6\text{,}$ например, $c=1\text{,}$ $b=7$ даёт число 9715.

Ответ: 9605