Задача №13925

Найдите трёхзначное натуральное число, которое при делении и на $3\text{,}$ и на $5\text{,}$ и на $7$ даёт в остатке $1$ и цифры в записи которого расположены в порядке убывания слева направо. В ответе запишите какое-нибудь одно такое число.

Пусть искомое число — $N\text{.}$ По условию:

Это означает, что $N-1$ делится на $3\text{,}$ на $5$ и на $7\text{,}$ то есть кратно их наименьшему общему кратному. Поскольку $3\text{,}$ $5$ и $7$ — взаимно простые числа, $\text{НОК}(3;5;7)=3\cdot 5\cdot 7=105\text{.}$ Следовательно,

Число $N$ трёхзначное, поэтому

Вычитаем $1\text{:}$

Так как $k$ — целое число, $k$ принимает значения от $1$ до $9$ включительно.

Для каждого $k$ найдём $N$ и проверим условие убывания цифр слева направо (если число записано цифрами $a\text{,}$ $b\text{,}$ $c\text{,}$ то $a>b>c$):

1. $k=1\text{:}$ $N=105\cdot 1+1=106\text{.}$ Цифры: 1, 0, 6. $1>0$ — да, но $0>6$ — нет.
2. $k=2\text{:}$ $N=105\cdot 2+1=211\text{.}$ Цифры: 2, 1, 1. $2>1$ — да, но $1>1$ — нет.
3. $k=3\text{:}$ $N=105\cdot 3+1=316\text{.}$ Цифры: 3, 1, 6. $3>1$ — да, но $1>6$ — нет.
4. $k=4\text{:}$ $N=105\cdot 4+1=421\text{.}$ Цифры: 4, 2, 1. $4>2>1$ — да.
5. $k=5\text{:}$ $N=105\cdot 5+1=526\text{.}$ Цифры: 5, 2, 6. $5>2$ — да, но $2>6$ — нет.
6. $k=6\text{:}$ $N=105\cdot 6+1=631\text{.}$ Цифры: 6, 3, 1. $6>3>1$ — да.
7. $k=7\text{:}$ $N=105\cdot 7+1=736\text{.}$ Цифры: 7, 3, 6. $7>3$ — да, но $3>6$ — нет.
8. $k=8\text{:}$ $N=105\cdot 8+1=841\text{.}$ Цифры: 8, 4, 1. $8>4>1$ — да.
9. $k=9\text{:}$ $N=105\cdot 9+1=946\text{.}$ Цифры: 9, 4, 6. $9>4$ — да, но $4>6$ — нет.

Таким образом, подходят числа 421, 631 и 841. По условию достаточно указать одно такое число.

Ответ: 421