Задача №13924

Вычеркните в числе $81567105$ три цифры так, чтобы получившееся число делилось на $30\text{.}$ В ответе укажите какое-нибудь одно получившееся число.

Число делится на $30\text{,}$ если оно делится одновременно на $10$ и на $3$ (так как $30=3\cdot 10$).

1. Для делимости на $10$ число должно оканчиваться на $0\text{.}$ В исходном числе $81567105$ есть цифра $0\text{,}$ но она стоит не в конце. Чтобы $0$ стал последней цифрой, нужно вычеркнуть все цифры, стоящие после него. После $0$ находится только одна цифра $5\text{,}$ поэтому её вычеркиваем.

2. Теперь из оставшихся цифр (первые шесть: $8\text{,}$ $1\text{,}$ $5\text{,}$ $6\text{,}$ $7\text{,}$ $1$) нужно вычеркнуть ещё две цифры, чтобы получившееся число (из четырёх оставшихся цифр и нуля в конце) делилось на $3\text{.}$ Для делимости на $3$ сумма цифр числа должна делиться на $3\text{.}$

3. Сумма первых шести цифр:

Вычеркнем две цифры с суммами $a$ и $b\text{.}$ Тогда сумма цифр получившегося числа будет $28-a-b\text{.}$ Нужно, чтобы $28-a-b$ делилось на $3\text{.}$ Так как $28$ даёт остаток $1$ при делении на $3\text{,}$ то сумма $a+b$ должна давать остаток $1$ при делении на $3\text{.}$

4. Рассмотрим цифры и их остатки от деления на $3\text{:}$

• $8\to \text{остаток }2\text{;}$
• $1\to \text{остаток }1\text{;}$
• $5\to \text{остаток }2\text{;}$
• $6\to \text{остаток }0\text{;}$
• $7\to \text{остаток }1\text{;}$
• $1\to \text{остаток }1\text{.}$

Пары цифр, сумма остатков которых даёт остаток $1$ по модулю $3\text{:}$ например, $(8;5)$ (остатки $2$ и $2\text{,}$ сумма остатков $4\text{,}$ остаток от деления на $3$ равен $1$) или $(1;6)$ (остатки $1$ и $0\text{,}$ сумма остатков $1$). Выберем пару $(8;5)\text{.}$

5. Вычеркиваем цифры $8$ (первая) и $5$ (третья), а также ранее вычеркнутую последнюю $5\text{.}$ Оставшиеся цифры в порядке следования: $1$ (вторая), $6$ (четвёртая), $7$ (пятая), $1$ (шестая) и $0$ (седьмая). Получаем число $16710\text{.}$

6. Проверка: число $16710$ оканчивается на $0\text{,}$ сумма его цифр $1+6+7+1+0=15$ делится на $3\text{.}$ Следовательно, $16710$ делится на $30\text{.}$

Можно было выбрать и другие пары, например, вычеркнуть $1$ и $6\text{,}$ получив $85710\text{,}$ или $7$ и $6\text{,}$ получив $85110\text{.}$ Все эти числа также делятся на $30\text{.}$

Ответ: $16710$