Задача №13922

На шести карточках написаны цифры 2; 3; 5; 6; 7; 7 (по одной цифре на каждой карточке). В выражении

$$\square \square +\square \square +\square \square$$

вместо каждого квадратика положили карточку из данного набора. Оказалось, что полученная сумма делится на 10, но не делится на 20. В ответе укажите какую-нибудь одну такую сумму.

Рассмотрим два возможных варианта записи выражения, так как в тексте условия и на рисунке они различаются.

Вариант 1 (по рисунку): выражение вида $\square +\square \square +\square \square \square$

Пусть первое число равно $a\text{,}$ второе — $\overline{bc}=10b+c\text{,}$ третье — $\overline{def}=100d+10e+f\text{.}$
Их сумма равна:

$$S=a+(10b+c)+(100d+10e+f)=100d+10(b+e)+(a+c+f)$$

Сумма $S$ должна делиться на 10, поэтому её последняя цифра должна быть равна 0. Это означает, что сумма единиц $U=a+c+f$ должна делиться на 10.
Поскольку все используемые цифры положительные, сумма трёх единиц $U$ может быть равна только 10 или 20.

1. Случай 1: $U=10$
Из набора цифр $\{2;3;5;6;7;7\}$ только три цифры $\{2;3;5\}$ в сумме дают 10.
Тогда единицами являются цифры $2,3,5\text{.}$
Оставшиеся цифры для разрядов десятков и сотен — $\{6;7;7\}\text{.}$

• Если сотней $d$ является цифра 6, то десятками $b$ и $e$ будут цифры 7 и 7.
  Сумма равна:

$$S=100\cdot 6+10\cdot (7+7)+10=600+140+10=750$$

Число 750 делится на 10, но не делится на 20 (так как $750=20\cdot 37+10$). Это удовлетворяет условию задачи.
Пример такого выражения: $2+73+675=750\text{.}$

• Если сотней $d$ является цифра 7, то десятками $b$ и $e$ будут цифры 6 и 7.
  Сумма равна:

$$S=100\cdot 7+10\cdot (6+7)+10=700+130+10=840$$

Число 840 делится на 20, что не удовлетворяет условию.

2. Случай 2: $U=20$
Из набора цифр $\{2;3;5;6;7;7\}$ только три цифры $\{6;7;7\}$ в сумме дают 20.
Тогда единицами являются цифры $6,7,7\text{.}$
Оставшиеся цифры для разрядов десятков и сотен — $\{2;3;5\}\text{.}$

• Если сотней $d$ является цифра 2, то десятками $b$ и $e$ будут цифры 3 и 5.
  Сумма равна:

$$S=100\cdot 2+10\cdot (3+5)+20=200+80+20=300$$

Число 300 делится на 20, что не удовлетворяет условию.

• Если сотней $d$ является цифра 3, то десятками $b$ и $e$ будут цифры 2 и 5.
  Сумма равна:

$$S=100\cdot 3+10\cdot (2+5)+20=300+70+20=390$$

Число 390 делится на 10, но не делится на 20. Это удовлетворяет условию задачи.
Пример такого выражения: $7+26+357=390\text{.}$

• Если сотней $d$ является цифра 5, то десятками $b$ и $e$ будут цифры 2 и 3.
  Сумма равна:

$$S=100\cdot 5+10\cdot (2+3)+20=500+50+20=570$$

Число 570 делится на 10, но не делится на 20. Это удовлетворяет условию задачи.
Пример такого выражения: $7+26+537=570\text{.}$

Таким образом, для первого варианта записи возможными ответами являются суммы 390, 570 или 750.

---

Вариант 2 (по тексту условия): выражение вида $\square \square +\square \square +\square \square$

Пусть числа равны $\overline{ab}=10a+b\text{,}$ $\overline{cd}=10c+d\text{,}$ $\overline{ef}=10e+f\text{.}$
Их сумма равна:

$$S=10(a+c+e)+(b+d+f)$$

Сумма единиц $U=b+d+f$ должна делиться на 10 (так как $S$ делится на 10). Как и в первом варианте, $U$ может принимать значения 10 или 20.

1. Если $U=10$, то единицами являются цифры $\{2;3;5\}\text{.}$
Тогда десятками являются оставшиеся цифры $\{6;7;7\}\text{,}$ их сумма равна $6+7+7=20\text{.}$
Сумма равна:

$$S=10\cdot 20+10=210$$

Число 210 делится на 10, но не делится на 20. Это удовлетворяет условию задачи.
Пример такого выражения: $62+73+75=210\text{.}$

2. Если $U=20$, то единицами являются цифры $\{6;7;7\}\text{.}$
Тогда десятками являются оставшиеся цифры $\{2;3;5\}\text{,}$ их сумма равна $2+3+5=10\text{.}$
Сумма равна:

$$S=10\cdot 10+20=120$$

Число 120 делится на 20, что не удовлетворяет условию.

Таким образом, для второго варианта записи единственно возможным ответом является сумма 210.