Задача №13916

Найдите трёхзначное натуральное число, большее $600\text{,}$ которое при делении и на $4\text{,}$ и на $5\text{,}$ и на $6$ даёт в остатке $3$ и цифры в записи которого расположены в порядке убывания слева направо. В ответе укажите какое-нибудь одно такое число.

Пусть $N$ — искомое число. Так как при делении на $4\text{,}$ $5$ и $6$ остаток равен $3\text{,}$ то $N-3$ делится на $4\text{,}$ $5$ и $6\text{.}$ Следовательно, $N-3$ кратно $\text{НОК}(4;5;6)\text{.}$

Вычислим наименьшее общее кратное:

Таким образом, $N=60k+3\text{,}$ где $k$ — натуральное число.

По условию $N$ — трёхзначное число и больше $600\text{,}$ то есть $600<N<1000\text{.}$

Подставим выражение для $N\text{:}$

Вычтем $3$ из всех частей неравенства:

Разделим на $60\text{:}$

Оценим значения дробей:

Следовательно, целое число $k$ может принимать значения от $10$ до $16\text{.}$

Найдём возможные значения $N\text{:}$

1. При $k=10\text{:}$ $N=60\cdot 10+3=603\text{.}$
2. При $k=11\text{:}$ $N=663\text{.}$
3. При $k=12\text{:}$ $N=723\text{.}$
4. При $k=13\text{:}$ $N=783\text{.}$
5. При $k=14\text{:}$ $N=843\text{.}$
6. При $k=15\text{:}$ $N=903\text{.}$
7. При $k=16\text{:}$ $N=963\text{.}$

Теперь проверим условие убывания цифр (каждая следующая цифра меньше предыдущей):

• 603: цифры 6, 0, 3 — не убывают ($0<3$).
• 663: цифры 6, 6, 3 — не строгое убывание.
• 723: цифры 7, 2, 3 — не убывают ($2<3$).
• 783: цифры 7, 8, 3 — не убывают ($7<8$).
• 843: цифры 8, 4, 3 — $8>4>3\text{,}$ подходит.
• 903: цифры 9, 0, 3 — не убывают ($0<3$).
• 963: цифры 9, 6, 3 — $9>6>3\text{,}$ подходит.

Итак, подходящие числа: 843 и 963. В ответе можно указать любое из них.

Ответ: 843