Про натуральные числа A, B и C известно, что каждое из них больше 4, но меньше 8. Загадали натуральное число, затем его умножили на A, потом прибавили к полученному произведению B и вычли C. Получилось 165. Какое число было загадано?

Пусть x — загаданное натуральное число. Тогда по условию: x* A + B - C = 165 где A , B , C — натуральные числа, причём 5 A, B, C 7 (так как каждое больше 4 и меньше 8). Выразим x : x = (165 + C - B)/(A) Поскольку x должно быть натуральным, дробь должна быть целым числом. Разность C - B может принимать значения из множества -2; -1; 0; 1; 2 . Рассмотрим возможные значения A . 1. Если A = 5 . Тогда: x = (165 + C - B)/(5) Число 165 делится на 5, поэтому для целости x необходимо, чтобы C - B делилось на 5. Среди возможных значений C - B только 0 делится на 5. Следовательно, C = B . Тогда x = (165)/(5) = 33 . При любых B = C из множества 5; 6; 7 значение x = 33 является натуральным. 2. Если A = 6 . Тогда: x = (165 + C - B)/(6) Число 165 при делении на 6 даёт остаток 3, так как 165 = 6 * 27 + 3 . Поэтому 165 + C - B должно делиться на 6. Рассмотрим остаток от деления 165 + C - B на 6: он равен остатку от деления выражения 3 + C - B на 6. Для C - B in -2; -1; 0; 1; 2 получаем значения 1, 2, 3, 4, 5 соответственно, ни одно из которых не делится на 6. Значит, натуральных решений для x в этом случае нет. 3. Если A = 7 . Тогда: x = (165 + C - B)/(7) Число 165 при делении на 7 даёт остаток 4, так как 165 = 7 * 23 + 4 . Аналогично, остаток от деления 4 + C - B на 7 для возможных C - B принимает значения 2, 3, 4, 5, 6 , ни одно из которых не равно 0. Натуральных решений для x нет. Таким образом, единственная возможность получить натуральное x — это когда A = 5 и C = B , при этом x = 33 . Ответ: 33

33