Про натуральные числа A, B и C известно, что каждое из них больше 4, но меньше 8. Загадали натуральное число, затем его умножили на A, потом прибавили к полученному произведению B и вычли C. Получилось 165. Какое число было загадано?
Пусть x — загаданное натуральное число. Тогда по условию:
x⋅A+B−C=165где A, B, C — натуральные числа, причём 5⩽A,B,C⩽7 (так как каждое больше 4 и меньше 8). Выразим x:
x=A165+C−BПоскольку x должно быть натуральным, дробь должна быть целым числом. Разность C−B может принимать значения из множества {−2;−1;0;1;2}. Рассмотрим возможные значения A.
1. Если A=5. Тогда:
x=5165+C−BЧисло 165 делится на 5, поэтому для целости x необходимо, чтобы C−B делилось на 5. Среди возможных значений C−B только 0 делится на 5. Следовательно, C=B. Тогда x=5165=33. При любых B=C из множества {5;6;7} значение x=33 является натуральным.
2. Если A=6. Тогда:
x=6165+C−BЧисло 165 при делении на 6 даёт остаток 3, так как 165=6⋅27+3. Поэтому 165+C−B должно делиться на 6. Рассмотрим остаток от деления 165+C−B на 6: он равен остатку от деления выражения 3+C−B на 6. Для C−B∈{−2;−1;0;1;2} получаем значения 1,2,3,4,5 соответственно, ни одно из которых не делится на 6. Значит, натуральных решений для x в этом случае нет.
3. Если A=7. Тогда:
x=7165+C−BЧисло 165 при делении на 7 даёт остаток 4, так как 165=7⋅23+4. Аналогично, остаток от деления 4+C−B на 7 для возможных C−B принимает значения 2,3,4,5,6, ни одно из которых не равно 0. Натуральных решений для x нет.
Таким образом, единственная возможность получить натуральное x — это когда A=5 и C=B, при этом x=33.
Ответ: 33
Проверить решение?
Покажи своё решение — проверю и покажу, где ошибка
Потренируйся на похожих — ИИ проверит твои решения
1
Задачи повышенной сложности
ФИПИ