Задача №13908

Во всех подъездах дома одинаковое число этажей, и на всех этажах одинаковое число квартир. При этом число этажей в доме больше числа квартир на этаже, число квартир на этаже больше числа подъездов, а число подъездов больше одного. Сколько этажей в доме, если всего в нём $357$ квартир?

Пусть $p$ — количество подъездов, $f$ — количество этажей, $a$ — количество квартир на этаже. Тогда всего квартир в доме:

Из условия:
1. Число этажей больше числа квартир на этаже: $f>a\text{.}$
2. Число квартир на этаже больше числа подъездов: $a>p\text{.}$
3. Число подъездов больше одного: $p>1\text{.}$

Все числа целые положительные.

Разложим число $357$ на простые множители:

Поскольку $p\text{,}$ $f\text{,}$ $a$ — целые и их произведение равно $357\text{,}$ то эти числа должны быть равны $3\text{,}$ $7\text{,}$ $17$ в некотором порядке.

Учитывая неравенства:
1. $p>1\text{,}$ так что $p$ не может быть $1\text{.}$
2. $a>p\text{,}$ значит $a$ должно быть больше $p\text{.}$
3. $f>a\text{,}$ значит $f$ должно быть больше $a\text{.}$

Переберем возможные варианты:
1. Если $p=3\text{,}$ то $a>3\text{,}$ поэтому $a$ может быть $7$ или $17\text{.}$ Но $f>a\text{,}$ поэтому если $a=7\text{,}$ то $f=17$ (удовлетворяет условию $17>7$). Если $a=17\text{,}$ то $f=7\text{,}$ но $7>17$ — неверно.
2. Если $p=7\text{,}$ то $a>7\text{,}$ значит $a=17\text{,}$ тогда $f=3\text{,}$ но $3>17$ — неверно.
3. Если $p=17\text{,}$ то $a>17$ невозможно, так как нет чисел больше $17\text{.}$

Единственный вариант, удовлетворяющий всем условиям: $p=3\text{,}$ $a=7\text{,}$ $f=17\text{.}$

Проверка: $p>1$ ($3>1$), $a>p$ ($7>3$), $f>a$ ($17>7$), и $p\cdot f\cdot a=3\cdot 7\cdot 17=357\text{.}$

Значит, число этажей в доме равно $17\text{.}$

Ответ: 17