Задача №13904

В таблице три столбца и несколько строк. В каждую клетку таблицы вписали по натуральному числу так, что сумма всех чисел в первом столбце равна $103\text{,}$ во втором — $97\text{,}$ в третьем — $93\text{,}$ а сумма чисел в каждой строке больше $21\text{,}$ но меньше $24\text{.}$ Сколько всего строк в таблице?

Пусть в таблице $n$ строк. Сумма всех чисел в таблице равна сумме по столбцам:

$103+97+93=293\text{.}$

По условию сумма чисел в каждой строке больше $21$ и меньше $24\text{.}$ Так как числа натуральные, эта сумма может быть только $22$ или $23\text{.}$ Пусть $x$ строк имеют сумму $22\text{,}$ а $y$ строк — сумму $23\text{.}$ Тогда:

Решим уравнение в целых неотрицательных числах. Выразим $x\text{:}$

Перебирая $y\text{,}$ находим единственное решение: при $y=7$ получаем $x=\frac{293-23\cdot 7}{22}=\frac{293-161}{22}=\frac{132}{22}=6\text{.}$ Тогда $n=6+7=13\text{.}$

Проверка: $22\cdot 6+23\cdot 7=132+161=293\text{,}$ что совпадает с общей суммой. Распределение чисел по строкам возможно, так как суммы столбцов согласуются с суммами строк.

Ответ: 13