Задача №13868

Про натуральные числа $A\text{,}$ $B$ и $C$ известно, что каждое из них больше 5, но меньше 9. Загадали натуральное число, затем его умножили на $A\text{,}$ потом прибавили к полученному произведению $B$ и вычли $C\text{.}$ Получилось 172. Какое число было загадано?

1. По условию натуральные числа $A\text{,}$ $B$ и $C$ больше 5, но меньше 9. Это означает, что $A,B,C\in \{6;7;8\}\text{.}$

2. Пусть загаданное число равно $x\text{.}$ Согласно описанным действиям, составим уравнение:

3. Преобразуем уравнение, чтобы выразить произведение $A\cdot x\text{:}$

4. Определим возможные значения разности $(C-B)\text{.}$ Так как $B$ и $C$ могут быть равны 6, 7 или 8, то минимальное значение разности равно $6-8=-2\text{,}$ а максимальное — $8-6=2\text{.}$ Значит, $(C-B)\in \{-2;-1;0;1;2\}\text{.}$

5. Следовательно, величина $A\cdot x$ может принимать значения из множества $\{170;171;172;173;174\}\text{.}$ При этом полученное значение должно нацело делиться на $A\text{,}$ которое также равно 6, 7 или 8.

6. Проверим варианты для $A\text{:}$

• Если $A=6\text{:}$ из чисел 170, 171, 172, 173, 174 только 174 делится на 6. Тогда $172+C-B=174\Rightarrow C-B=2\text{.}$ Это условие выполняется при $C=8$ и $B=6\text{.}$ Тогда $x=174:6=29\text{.}$
• Если $A=7\text{:}$ ни одно из чисел от 170 до 174 не делится на 7 без остатка (ближайшие числа — 168 и 175).
• Если $A=8\text{:}$ ни одно из чисел от 170 до 174 не делится на 8 без остатка (ближайшие числа — 168 и 176).

7. Таким образом, единственное натуральное число, удовлетворяющее условию, — это 29.

Ответ: 29