Задача №13865

Найдите трёхзначное число, кратное 70, все цифры которого различны, а сумма квадратов цифр делится на 5, но не делится на 25. В ответе укажите какое-нибудь одно такое число.

Пусть искомое трёхзначное число имеет вид $\overline{abc}\text{.}$ Согласно условию:

1. Число кратно 70. Поскольку $70=7\cdot 10\text{,}$ число должно делиться на 10 и на 7. Из делимости на 10 следует, что последняя цифра $c=0\text{.}$

2. Трёхзначное число имеет вид $\overline{ab0}\text{.}$ Так как оно кратно 70, выпишем все трёхзначные числа, кратные 70, и проверим условие на различность цифр:

• $70\cdot 2=140$ (цифры 1, 4, 0 — различны);
• $70\cdot 3=210$ (цифры 2, 1, 0 — различны);
• $70\cdot 4=280$ (цифры 2, 8, 0 — различны);
• $70\cdot 5=350$ (цифры 3, 5, 0 — различны);
• $70\cdot 6=420$ (цифры 4, 2, 0 — различны);
• $70\cdot 7=490$ (цифры 4, 9, 0 — различны);
• $70\cdot 8=560$ (цифры 5, 6, 0 — различны);
• $70\cdot 9=630$ (цифры 6, 3, 0 — различны);
• $70\cdot 10=700$ (цифры 7, 0, 0 — не различны);
• $70\cdot 11=770$ (цифры 7, 7, 0 — не различны);
• $70\cdot 12=840$ (цифры 8, 4, 0 — различны);
• $70\cdot 13=910$ (цифры 9, 1, 0 — различны);
• $70\cdot 14=980$ (цифры 9, 8, 0 — различны).

3. Проверим условие на сумму квадратов цифр $S=a^2+b^2+c^2\text{.}$ Сумма должна делиться на 5, но не на 25:

• 140: $1^2+4^2+0^2=17$ (не делится на 5);
• 210: $2^2+1^2+0^2=5$ (делится на 5, но не на 25) — подходит;
• 280: $2^2+8^2+0^2=68$ (не делится на 5);
• 350: $3^2+5^2+0^2=34$ (не делится на 5);
• 420: $4^2+2^2+0^2=20$ (делится на 5, но не на 25) — подходит;
• 490: $4^2+9^2+0^2=97$ (не делится на 5);
• 560: $5^2+6^2+0^2=61$ (не делится на 5);
• 630: $6^2+3^2+0^2=45$ (делится на 5, но не на 25) — подходит;
• 840: $8^2+4^2+0^2=80$ (делится на 5, но не на 25) — подходит;
• 910: $9^2+1^2+0^2=82$ (не делится на 5);
• 980: $9^2+8^2+0^2=145$ (делится на 5, но не на 25) — подходит.

В ответе нужно указать одно число. Выберем 210.

Ответ: 210