Задача №13858

Найдите четырёхзначное число, кратное 22, произведение цифр которого равно 24. В ответе укажите какое-нибудь одно такое число.

Пусть искомое четырёхзначное число имеет вид $\overline{abcd}\text{.}$

По условию число кратно 22. Это означает, что оно одновременно делится на 2 и на 11 (так как $22=2\cdot 11$):

1. Делимость на 2 означает, что последняя цифра $d$ является чётной ($d\in \{2;4;6;8\}$). Цифра 0 невозможна, так как произведение цифр не равно 0.
2. Делимость на 11 означает, что знакочередующаяся сумма цифр $a-b+c-d$ кратна 11. Это эквивалентно тому, что разность между суммами цифр на нечётных и чётных местах $(a+c)-(b+d)$ кратна 11.

Также известно, что произведение цифр равно 24:

Рассмотрим возможные наборы из четырёх цифр (от 1 до 9), произведение которых равно 24:

1. $\{1;2;3;4\}$ (сумма цифр 10);
2. $\{1;1;4;6\}$ (сумма цифр 12);
3. $\{1;2;2;6\}$ (сумма цифр 11);
4. $\{1;1;3;8\}$ (сумма цифр 13);
5. $\{2;2;2;3\}$ (сумма цифр 9).

Проверим набор $\{1;2;3;4\}\text{.}$ Сумма всех цифр равна 10. Если разность $(a+c)-(b+d)$ должна быть кратна 11, то при сумме 10 единственно возможный вариант — это когда разность равна 0. Тогда:

Из цифр набора $\{1;2;3;4\}$ можно составить две пары, каждая из которых в сумме даёт 5: это $(1;4)$ и $(2;3)\text{.}$

Чтобы число было чётным, в качестве последней цифры $d$ выберем чётную цифру из набора, например $d=2\text{.}$ Тогда из пары $(2;3)$ цифра $b=3\text{.}$ Оставшиеся цифры 1 и 4 распределим на позиции $a$ и $c\text{,}$ например $a=1\text{,}$ $c=4\text{.}$

Получаем число 1342. Проверим условия:

1. Число четырёхзначное.
2. Произведение цифр: $1\cdot 3\cdot 4\cdot 2=24\text{.}$
3. Делимость на 22: число чётное, а знакочередующаяся сумма цифр $1-3+4-2=0$ делится на 11. Следовательно, число делится на 22.

Также подходящими являются числа 4312, 2134, 3124.

Ответ: 1342