Задача №13840

Найдите четырёхзначное число, которое в 9 раз меньше четвёртой степени некоторого натурального числа. В ответе укажите какое-нибудь одно такое число.

Пусть $x$ — искомое четырёхзначное число, а $n$ — некоторое натуральное число. По условию задачи можно составить уравнение:

Так как $x$ является целым числом, то $n^4$ должно делиться на 9. Поскольку $9=3^2\text{,}$ это означает, что число $n$ должно быть кратно 3 (так как если бы число не делилось на 3, то и его четвёртая степень не делилась бы на 3). Пусть $n=3k\text{,}$ где $k$ — натуральное число. Подставим это выражение в уравнение:

По условию число $x$ четырёхзначное, то есть оно находится в границах от 1000 до 9999 включительно:

Разделим все части неравенства на 9:

Найдём возможные натуральные значения $k\text{:}$

1. Если $k=3\text{,}$ то $k^4=81$ (меньше $111,11\dots$);
2. Если $k=4\text{,}$ то $k^4=256\text{.}$ Тогда $x=9\cdot 256=2304\text{;}$
3. Если $k=5\text{,}$ то $k^4=625\text{.}$ Тогда $x=9\cdot 625=5625\text{;}$
4. Если $k=6\text{,}$ то $k^4=1296$ (больше 1111).

Таким образом, условию задачи удовлетворяют два числа: 2304 и 5625. В ответе укажем одно из них.

Ответ: 2304