Задача №13830

Цифры четырёхзначного числа, кратного $5\text{,}$ записали в обратном порядке и получили второе четырёхзначное число. Затем из исходного числа вычли второе и получили $1638\text{.}$ В ответе укажите какое-нибудь одно такое исходное число.

Пусть искомое четырёхзначное число равно $\overline{abcd}=1000a+100b+10c+d\text{.}$

1. Число кратно $5\text{,}$ значит, его последняя цифра $d$ равна $0$ или $5\text{.}$

2. После записи цифр в обратном порядке получили число $\overline{dcba}=1000d+100c+10b+a\text{.}$ Так как это число четырёхзначное, его первая цифра $d$ не может быть равна $0\text{.}$ Следовательно, $d=5\text{.}$

3. По условию разность исходного и обратного чисел равна $1638\text{:}$

Разделим обе части уравнения на $9\text{:}$

4. Подставим значение $d=5\text{:}$

Рассмотрим возможные целые значения для цифры $a\text{:}$

• Если $a-5=1\text{,}$ то $111+10(b-c)=182\Rightarrow 10(b-c)=71$ (нет решений в целых числах).
• Если $a-5=2\text{,}$ то $222+10(b-c)=182\Rightarrow 10(b-c)=-40\Rightarrow b-c=-4\text{.}$

Отсюда находим $a=7\text{,}$ а цифры $b$ и $c$ связаны соотношением $c=b+4\text{.}$

5. Подберём подходящие пары цифр $b$ и $c\text{:}$

• При $b=0\text{,}$ $c=4\text{.}$ Число $7045\text{.}$
• При $b=1\text{,}$ $c=5\text{.}$ Число $7155\text{.}$
• При $b=2\text{,}$ $c=6\text{.}$ Число $7265\text{.}$

Проверим число $7045\text{:}$ оно кратно $5\text{,}$ обратное число $5407$ также четырёхзначное, разность $7045-5407=1638\text{.}$ Условие выполняется.

Ответ: $7045$