Задача №13822

Найдите трёхзначное число, кратное $70\text{,}$ все цифры которого различны, а сумма квадратов цифр делится на $2\text{,}$ но не делится на $4\text{.}$ В ответе укажите какое-нибудь одно такое число.

Поскольку число кратно $70\text{,}$ оно кратно $10\text{,}$ поэтому его последняя цифра равна $0\text{.}$ Пусть цифры числа: $a$ (сотни), $b$ (десятки), $0$ (единицы). Цифры должны быть различны, следовательно, $a\ne 0\text{,}$ $b\ne 0\text{,}$ $a\ne b\text{,}$ при этом $a$ и $b$ — цифры от $1$ до $9\text{.}$

Сумма квадратов цифр: $a^2+b^2\text{.}$ По условию она делится на $2\text{,}$ но не делится на $4\text{.}$

Рассмотрим чётность $a$ и $b\text{:}$

1. Если оба числа чётные, то $a^2$ и $b^2$ делятся на $4\text{,}$ значит, их сумма делится на $4$ — не подходит.
2. Если одно число чётное, а другое нечётное, то сумма $a^2+b^2$ нечётна и не делится на $2$ — не подходит.
3. Если оба числа нечётные, то $a^2\equiv 1(\mathrm{mod}4)$ и $b^2\equiv 1(\mathrm{mod}4)\text{.}$ Тогда:

То есть сумма делится на $2\text{,}$ но не на $4\text{.}$ Этот случай нам подходит.

Нечётные цифры: $1,3,5,7,9\text{.}$ Число должно делиться на $70\text{.}$ Перечислим трёхзначные числа, кратные $70\text{:}$
$140,210,280,350,420,490,560,630,700,770,840,910,980\text{.}$

Проверим, у каких чисел цифры сотен и десятков нечётные и различны:

• $350\text{:}$ цифры $3,5,0$ — все различны; $3$ и $5$ нечётные. Сумма квадратов:

$34$ делится на $2\text{,}$ но не на $4\text{.}$ Значит, $350$ подходит.

• $910\text{:}$ цифры $9,1,0$ — все различны; $9$ и $1$ нечётные. Сумма квадратов:

$82$ делится на $2\text{,}$ но не на $4\text{.}$ Значит, $910$ также подходит.

Остальные числа не удовлетворяют условиям (либо цифры не все различны, либо $a$ и $b$ не оба нечётные).

В ответе можно указать любое такое число, например, 350.

Ответ: 350