Задача №13820

Четырёхзначное число $A$ составлено из цифр 3, 4, 8, 9, а четырёхзначное число $B$ — из цифр 6, 7, 8, 9. Известно, что $B=2A\text{.}$ Найдите число $A\text{.}$ В ответе запишите какое-нибудь одно такое число, большее 3,500.

Поскольку число $A$ четырёхзначное и составлено из цифр 3, 4, 8, 9, а число $B=2A$ также четырёхзначное и составлено из цифр 6, 7, 8, 9, то $A$ должно быть меньше 5,000, так как если $A⩾5000\text{,}$ то $2A⩾10000$ — пятизначное число. Следовательно, первая цифра числа $A$ может быть только 3 или 4 (цифры 8 и 9 приведут к $2A⩾16000$).

Условие требует, чтобы $A>3500\text{.}$ Рассмотрим случаи:

1. Если первая цифра $A$ равна 3, то чтобы число было больше 3,500, вторая цифра должна быть 8 или 9 (так как со второй цифрой 4 число будет меньше 3,500: например, $3489<3500$). При этом оставшиеся две цифры — это 4 и 9 (если вторая 8) или 4 и 8 (если вторая 9).

Возможные числа:

• При второй цифре 8: $A=3849$ или $3894\text{.}$
• При второй цифре 9: $A=3948$ или $3984\text{.}$

2. Если первая цифра $A$ равна 4, то все числа с первой цифрой 4 из цифр 3, 8, 9 больше 3,500. Возможные числа: $4389\text{,}$ $4398\text{,}$ $4839\text{,}$ $4893\text{,}$ $4938\text{,}$ $4983\text{.}$

Теперь для каждого из этих чисел вычислим $B=2A$ и проверим, состоит ли $B$ из цифр 6, 7, 8, 9 (всех четырёх, каждая ровно один раз).

Проверка:

• $A=3849\text{:}$ $2\cdot 3849=7698\text{.}$ Цифры числа 7,698: 7, 6, 9, 8 — это в точности набор $\{6;7;8;9\}\text{.}$ Условие выполнено.
• $A=3894\text{:}$ $2\cdot 3894=7788$ — не подходит.
• $A=3948\text{:}$ $2\cdot 3948=7896$ — подходит.
• $A=3984\text{:}$ $2\cdot 3984=7968$ — подходит.
• $A=4389\text{:}$ $2\cdot 4389=8778$ — не подходит.
• $A=4398\text{:}$ $2\cdot 4398=8796$ — подходит.
• $A=4839\text{:}$ $2\cdot 4839=9678$ — подходит.
• $A=4893\text{:}$ $2\cdot 4893=9786$ — подходит.
• $A=4938\text{:}$ $2\cdot 4938=9876$ — подходит.
• $A=4983\text{:}$ $2\cdot 4983=9966$ — не подходит.

Таким образом, условию удовлетворяют несколько чисел, например: 3,849, 3,948, 3,984, 4,398, 4,839, 4,893, 4,938.

Ответ: 3849